Wie bestimment man eine Funktiongleichung durch Eigenschaften?

Question

Aufgabe:

Die Wirkstoffmenge des Schmerzmedikaments DOLOROSA im Blutkreislauf wird vereinfacht durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades modelliert, die die Wirstoffmenge im Blut (in mg) in Abhangigkeit von der Zeit t (in h) beschreibt. Die Ennahme erfolgt zum Zeitpunkt t=0.

Aus den Daten von Testpersonen, die vor der Einnahme von DOLOROSA noch keinen Wirkstoff im Blut hatten, geht hervor, dass

- die Testpersonen zum Zeitpunkt der Einnahme noch keinen Wirkstoff im Blut hatten;

-die momentane Anderungsrate der Konzentration bei der Einnahme 1 mg/h ist;

-die maximale Konzentration zwei Stunden anch der Einnahme vorhanden ist

-die momentane Abnahme der Konzentration vier Stunden nach der Einnahme am großten ist.

Problem/Ansatz:

Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f.

[ Zur Kontrolle: f(t)= (1/36)t^3-(1/3)t^2+t ]

Danke :-)

Answer 1

die allgemeine Gleichung einer Funktion 3. Grades kann man schreiben als

$$f()=ax^3+bx^2+cx+d$$

Jetzt müssen die Ausagen ins Mathematische "übersetzt" werden:

die Testpersonen zum Zeitpunkt der Einnahme noch keinen Wirkstoff im Blut hatten

Das bedeutet 0 mg zum Zeitpunkt t = 0, also

f(0) = 0 ⇒ d = 0

die momentane Änderungsrate der Konzentration bei der Einnahme 1 mg/h ist

momentane Änderungsrate = Ableitung an einer bestimmten Stelle, hier bei t = 0,

also f'(0) = ?

die maximale Konzentration zwei Stunden nach der Einnahme vorhanden ist

maximale Konzentration = Maximum an dieser Stelle

die momentane Abnahme der Konzentration vier Stunden nach der Einnahme am größten ist

= Maximum der Abnahme = Maximum der Ableitung = Wendepunkt der Funktion

Falls du beim Aufstellen der entsprechenden Gleichungen Schwierigkeiten hast, melde dich.

Gruß, Silvia