lineare unabhängigkeit einer Menge

Question

Im Vektorraum V = R der reellen Zahlen  über  dem Körper  der rationalen Zahlen Q betrachten wir die Vektoren

r =1,
s =√2,

t = √5 und

u = √20.

a) Zeigen Sie  die lineare Unabhängigkeit der Menge {r, s, t}.

b) Untersuchen Sie, ob auch die Menge {r, t, u} linear unabhängig ist.


Hinweis: Ist n ∈ N und n ∉ N, dann gilt auch n ∉ Q

Answer 1

q₁·1 + q₂·√2 + q₃·√5 = 0 mit q₁, q₂ und q₃ ≠ 0

Hier gibt es keine Lösung außer das die Unbekannten 0 sind.

 

u = √20 = √(4·5) = 2·√5 = 2·t

Damit sind u und t linear abhängig und somit auch r, u und t.

Comments

Kannst Du vielleicht auch zu a.) den Lösungsansatz geben?  Das was bisher da steht ist ja offensichtlich.

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Wenn das was dort steht offensichtlich ist, dann ist auch offensichtlich das der Vektorraum der reellen Zahlen linear unabhängig ist. Denn die Gleichung ist eben nur für q1 = q2 = q3 = 0 erfüllt. Und da es keine andere Lösung gibt ist es linear unabhängig.