Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz oder Divergenz

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz oder Divergenz

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2+n}{n^4-11n^2+3}} \) 

kann ich das so beweisen oder hab ich Mist gebaut?

\( \frac{n^2+n}{n^4-11n^2+3} \)  = \( \frac{n^2(1+\frac{1}{n})}{n^2(n^2-11+\frac{3}{n^2})} \) = \( \frac{1+\frac{1}{n}}{n^2-11+\frac{3}{n^2}} \) > ( für n > 3) \( \frac{1}{n^2} \) , \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} \) konvergiert 

Wäre vielleicht ein Kriterium besser?

Comments

Für n ≥ 5 schätze beispielsweise wie folgt ab:$$\left\vert\frac{n^2+n}{n^4-11n^2+3}\right\vert\le\frac{4n^2}{n^4+(\underbrace{n^4-22n^2+6}_{>0})}\le\frac{4n^2}{n^4}=\frac4{n^2}.$$

Answer 1

Hallo

im Prinzip ist die Idee mit 1/n² gut, aber du zeigst ja die Summanden sind >1/n², du musst zeigen, sie sind kleiner den Summanden einer konvergenten Reihe, das ist auch r/n² für beliebiges festes r, also deine Abschätzung noch etwa verbessern, das kann ruhig grob sein, 1+1/n<=2  z.B.

Gruß lul

Comments

Hallo und danke für die Antwort!

Kann man es auch so mit dem Majorantenkriterium zeigen? (Wenn ich hier nichts falsch gemacht habe :S)

\( \frac{n^2+n}{n^4-11n^2+3} \)  <= \( \frac{n^2+n^2}{n^4-11n^2} \)  <= \( \frac{2n^2}{n^4-11n^4} \)  = -\( \frac{2n^2}{10n^4} \) = -\( \frac{1}{5} \)  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} \)  konvergent

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ah ne ist ok, habe einen fehler hier gemacht

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Hallo

fast richtig, nur für n>4 ersetze n⁴-11n²+3  durch n⁴/2 dann hast du den Nenner vergrößert und damit den Bruch verkleinert.

Gruß lul