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Aufgabe:

Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz oder Divergenz

n=1n2+nn411n2+3 \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2+n}{n^4-11n^2+3}}  

kann ich das so beweisen oder hab ich Mist gebaut?

n2+nn411n2+3 \frac{n^2+n}{n^4-11n^2+3}   = n2(1+1n)n2(n211+3n2) \frac{n^2(1+\frac{1}{n})}{n^2(n^2-11+\frac{3}{n^2})} 1+1nn211+3n2 \frac{1+\frac{1}{n}}{n^2-11+\frac{3}{n^2}} > ( für n > 3) 1n2 \frac{1}{n^2} n=11n2 \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} konvergiert 


Wäre vielleicht ein Kriterium besser?

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Für n ≥ 5 schätze beispielsweise wie folgt ab:n2+nn411n2+34n2n4+(n422n2+6>0)4n2n4=4n2.\left\vert\frac{n^2+n}{n^4-11n^2+3}\right\vert\le\frac{4n^2}{n^4+(\underbrace{n^4-22n^2+6}_{>0})}\le\frac{4n^2}{n^4}=\frac4{n^2}.

1 Antwort

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Hallo

im Prinzip ist die Idee mit 1/n2 gut, aber du zeigst ja die Summanden sind >1/n2, du musst zeigen, sie sind kleiner den Summanden einer konvergenten Reihe, das ist auch r/n2 für beliebiges festes r, also deine Abschätzung noch etwa verbessern, das kann ruhig grob sein, 1+1/n<=2  z.B.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Hallo und danke für die Antwort!

Kann man es auch so mit dem Majorantenkriterium zeigen? (Wenn ich hier nichts falsch gemacht habe :S)

n2+nn411n2+3 \frac{n^2+n}{n^4-11n^2+3}   <= n2+n2n411n2 \frac{n^2+n^2}{n^4-11n^2}   <= 2n2n411n4 \frac{2n^2}{n^4-11n^4}   = -2n210n4 \frac{2n^2}{10n^4} = -15 \frac{1}{5}   n=11n2 \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}   konvergent

ah ne ist ok, habe einen fehler hier gemacht

Hallo

fast richtig, nur für n>4 ersetze n4-11n2+3  durch n4/2 dann hast du den Nenner vergrößert und damit den Bruch verkleinert.

Gruß lul

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