Aufgabe:
1,09*1,088*1,086*1,084*...*(1+0,09-0,002*n) = 3
Problem/Ansatz:
Gibt es eine Formel für dieses Problem?
∏i=0n(1+0,09−0,002n) \prod_{i=0}^{n}{(1+0,09-0,002n)} ∏i=0n(1+0,09−0,002n) =3
Weiter vereinfachen kann man wohl nicht, Da bleibt ein CAS oder eine lanweilige Tipperei auf dem TR als möglicher Lösungsweg.
Du hast als Laufindex i und nicht n gewählt.
Formel kenne ich auch nicht, aber mit
https://www.solumaths.com/de/rechner/berechnen/computer
kannst du probieren:
Bei n=15 kommt 2,916 raus und
bei n=16 gibt es 3,08.
Wie wäre es, wenn der Wert immer um denselben Faktor von mal zu mal
abnimmt?
1,09*1,09*0,998*1,09*0,9982*1,09983*...`*1,0998n= 3
Kann man das analytisch lösen?
∏k=0n(1,09∗0,998k)=1.09n∗0,998∑k=0nk\prod \limits_{k=0}^{n}(1,09*0,998^k)=1.09^{n}*0,998^{\sum \limits_{k=0}^{n}k}k=0∏n(1,09∗0,998k)=1.09n∗0,998k=0∑nk=1.09n∗0,998n∗(n+1)2=1.09n∗0,998n∗0,998n+12 =1.09^{n}*0,998^{\frac{n*(n+1)}{2}}= 1.09^{n}*0,998^{n}*0,998^{\frac{n+1}{2}}=1.09n∗0,9982n∗(n+1)=1.09n∗0,998n∗0,9982n+1=1.08782n∗0,998n+12=1.08782^{n}*0,998^{\frac{n+1}{2}}=1.08782n∗0,9982n+1
Und weiter mit
1.08782n∗0,998n+12=31.08782^{n}*0,998^{\frac{n+1}{2}}=31.08782n∗0,9982n+1=3
<=>n∗ln(1.08782)+n+12∗ln(0,998)=3<=> n*ln(1.08782)+\frac{n+1}{2}*ln(0,998)=3<=>n∗ln(1.08782)+2n+1∗ln(0,998)=3
<=>0,83175n−0,001001=3<=> 0,83175n-0,001001=3<=>0,83175n−0,001001=3
Also n=36,08
Danke. Du bist echt klasse! :)
Du bedankst dich überschwänglich, warum sagst du dann nicht, dass es die "Beste Antwort " ist?
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