Ableitung bestimmen e^-x*cos(2x+pi)

Question

Aufgabe:

1. $$e^{-x}cos(2x+pi)$$

Problem/Ansatz:

1. $$f'(x)= -e^{-x}cos(2x)+ e^{-x} * -2sin(2x)$$

    $$= -e^{-x}*(cos(2x)+ 2sin(2x))$$

Wie kommt Wolfram auf $$f'(x)=e^{-x}(cos(2x)+ 2sin(2x))$$ ?

Das kann ich leider nicht nachvollziehen, danke für die Hilfe.

Answer 1

$$e^{-x}·cos(2x+pi) =e^{-x} ·[- cos(2x)]$$ Der Summand π im Argument des cos verschiebt die Funktion cos(2x) um π/2 nach links. Das bedeutet eine Verschiebung um eine halbe Periode.

     [ man erkennt diese Verschiebung in der Darstellung  cos(2x+π) = cos(2·(x+π/2) ]

 Das entspricht einer Spiegelung an der x-Achse und man erhält  - cos(2x). Genau dieses Minuszeichen fehlt dir in deiner Rechnung, um auf das Ergebnis von Wolfram zu kommen.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die Antwort,  aber meine Lösung ist dann trotzdem richtig oder?

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Die Lösung von Wolfram ist richtig.

du musst  $f(x) = - e^{-x} ·cos(2x)]$ ableiten,

nicht   $f(x)=e^{-x} · cos(2x)$

$f'(x)= - [ -e^{-x}cos(2x)+ e^{-x} · (-2)·sin(2x) ]$

         $= e^{-x}·cos(2x)+ e^{-x} ·2sin(2x)$

         $= e^{-x}·[cos(2x)+2sin(2x)]$

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−e^−x∗(cos(2x+pi)+2sin(2x+pi))

Ich hatte das oben nicht richtig hingeschrieben,, meine frage bezog sich darauf, ob das trotzdem richtig ist? Die verschiebung ist ja dann noch mitenthalten

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Ja,

−e^−x · ( cos(2x+π) + 2·sin(2x+π) )   ist richtig.

Answer 2

Du darfst beim Faktor mit der e-Funktion die Kettenregel nicht vergessen.

g(x) = e^(-x)           , innere Funktion u = -x und u' = -1

Daher

g'(x) = -1* e^(-x) = -e^(-x)