Zeigen Sie, dass (f(b1), . . . , f(bn)) eine Basis von W ist.

Question

Sei K ein Körper und f : V → W eine bijektive lineare Abbildung von endlichdimensionalen K-Vektorräumen. Sei B= (b₁, . . . , b_n) eine Basis von V.

Zeigen Sie, dass (f(b₁), . . . , f(b_n)) eine Basis von W ist.

Answer 1

Wenn f bijektiv ist, haben V und W gleiche Dimension.

Brauchst also nur zu zeigen

(f(b1), . . . , f(bn))

sind lin. unabh.

Seien also  a1, ... , an aus K mit

a1*f(b1) + … + anf(bn) = 0

Dann folgt wegen der Linearität von f

f ( a1*b1 + ... + an*bn ) = 0

==>  a1*b1 + ... + an*bn ∈ ker (f)

und wegen der Bijektivität ist  ker (f) = {0}

also  a1*b1 + ... + an*bn = 0

und wegen der lin. Unabh. der bi also

 a1 = ... = an = 0 .         q.e.d.

Comments

Wenn f bijektiv ist, haben V und W gleiche Dimension.

Ist das nicht eine Folgerung aus der zu zeigenden Behauptung?

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warum ist a1*b1 + ... + an*bn ∈ ker (f) ? Das steht bei dir oben

f ( a1*b1 + ... + an*bn ) = 0
==>  a1*b1 + ... + an*bn ∈ ker (f)

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@EmNero das stimmt, das braucht man hier aber tatsächlich gar nicht. Man muss es nur in zwei Teile spalten.

1. \((f(b_i))_{i\in I}\) ist linear unabhängig: Das ist mathef's Beweis, dafür braucht man nur die Aussage "\(f\) ist injektiv \(\iff \ker(f)=0\)".

2. \((f(b_i))_{i\in I}\) ist ein Erzeugendensystem. Da die von mathef benutzte Aussage erst aus der zu zeigenden Aussage folgt, machen wir das per hand, wir wollen also, dass \(L(f(b_1),\ldots,f(b_n)) = W\). Nach elementarer linearer Algebra gilt aber \(L(f(b_1),\ldots,f(b_n)) = f(L(b_1,\ldots,b_n)) = f(V) = W\) wegen Surjektivität.

@yakalb das ist die Definition des Kerns: \(x\in \ker(f)\iff f(x)=0\).