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(a) Bestimmen Sie den(a) Bestimmen Sie den Rang der Abbildung f : R 3 → R 3 (x, y, z) ↦ (x + y, y + z, z + x)

(b) Geben Sie Basen v1, v2, v3 und w1, w2, w3 von R 3 an (für die Abbildung aus (a)) erfüllt ist, d. h.

 f(vi) = wi falls i ≤ rk f und f(vi) = 0 sonst.

von

a) 

f : R 3 → R 3 (x, y, z) ↦ (x + y, y + z, z + x) 

müsste eigentlich durch die Matrix 

A =

[ 1 1 0 ]

[ 0 1 1]

[ 1 0 1 ] 

beschrieben werden. 

Kontrolliere das und bestimme den Rang von A. 

b) verstehe ich nicht. 

Bild Mathematik Wie beweist man dass der Rang bei a) 3 ist?

1 Antwort

+3 Daumen

[ 1 1 0 ]

[ 0 1 1]

[ 1 0 1 ] 

gibt

[ 1 1 0 ]

[ 0 1 1 ]

[ 0 -1 1 ] und dann

[ 1 1 0 ]
[ 0 1 1 ]
[ 0 0 2 ]
also rg = 2  und wenn du für die v's


die Standardbasis nimmst, sind die w's 
die Spalten der ursprünglichen Matrix. 
von 152 k

sind die w's die Spalten der ursprünglichen Matrix. 

Richtig ist :   ... stehen die Koordinaten der w's bezüglich der Standardbasis in den Spalten der ursprünglichen Matrix.

Kann bitte jm. noch mit b) helfen

Ja bitte, komme auch überhaupt nicht weiter.


Wie folgt man daraus dass der rang 2 ist?

@Mathestudi. Wenn mathef richtig umgeformt hat, ist der Rang der Matrix 3.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=rank+((+1,+1+,0+),(+++0,+1+,1),+(+1,+0,+1+))

Bild Mathematik

Oh Pardon, da hatte ich irgendwie gepennt.

Könnte mir einer noch bei b weiterhelfen

Ja  bitte, brauche die auch dringend

Da ja nun der Rang = 3 ist ,  ist b) ja ganz einfach:

Du nimmst die drei Standardeinheitsvektoren als Basis v1, v2, v3.

Dann ist doch   f(v1) =

1
0
1

Und wenn du den als w1 nimmst, hast du f(v1) = w1 erfüllt.

Entsprechend w2 und w3.  Da ja der Rang 3 ist, sind die

drei w's wirklich lin. unabh. und bilden also eine Basis von IR3.




Kann bitte jemand erklären wieso in Gottes Namen der Rang aufeinmal 3 ist? Ich hab auch 2 raus, und aus dem Kauderwelsch von der Seite werd ich nicht schlau.

"wieso in Gottes Namen der Rang aufeinmal 3 ist?"

In der Dreiecksform gibt es keine Nullzeile, daher ist der Rang dieser 3x3-Matrix 3. 

Hab jetzt auch gemerkt, dass das was ich ausgerechnet hab rk3 ist und nicht 2. War irritiert. Aber danke

"Und wenn du den als w1 nimmst, hast du f(v1) = w1 erfüllt. "

bei dem Part komm ich nicht mehr mit. Bin soweit, dass f(v1)=1,0,1 ist (1,0,0 eingesetzt in x+y,y+z,z+x) und jetzt ?

Wie beweist man, dass rk3 ist?

Es genügt, dass du die Matrix auf Dreiecksform bringst.

Wie macht man das?

@elpatrondecolombia

Du sollst doch eine Basis w1, w2 , w3 finden, so, dassf(v1)=w1  und f(v2) =w2 etc. ist.

Also nimm die f(v1) , f(v2) und f(v3) als w1  und w2 und w3.

Dann hast du diese Basis.

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