Zusammengesetzte Funktionen (Textaufgabe Zuleitung Öl)

Question

Aufgabe:

Ein Behälter enthält zu Beginn (t=0) 2m^3 Öl.Für t≥0 wird in einer Zuleitung Öl zugeführt .

Für die momentane Zuflussrate f halt f(t)= 0,1 e^-0,1t (t in Minuten, f(t) m^3/min ).

a) Zeigen Sie ,dass die Ölmenge dauernd zunimmt .

b)Bestimmen Sie eine Funktion g ,die die Ölmenge im Behälter für t≥0 in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.Bestimmen Sie, wie lange es dauert ,bis 2,5m^3 Öl im Behälter sind .

c)Begründen Sie ,warum sich nach diesem Modell nie mehr als 3m^3 im Behälter befinden .

Problem/Ansatz:

Bräuchte Hilfe in dieser Aufgabe

Answer 1

a) Zeigen Sie, dass die Ölmenge dauernd zunimmt.

f(t) = 0.1·e^(- 0.1·t) > 0 da das Produkt positiver Faktoren wieder positiv ist.

b) Bestimmen Sie eine Funktion g, die die Ölmenge im Behälter für t ≥ 0 in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Bestimmen Sie, wie lange es dauert, bis 2.5 m³ Öl im Behälter sind.

f(t) = 0.1·e^(-0.1·t)
g(t) = 0.1/(-0.1)·e^(-0.1·t) + C = -e^(-0.1·t) + C
g(0) = -e^(-0.1·0) + C = 2 → C = 3
g(t) = 3 - e^(-0.1·t)

g(t) = 3 - e^(-0.1·t) = 2.5 → t = LN(3 - 2.5)/(-0.1) = 6.931 min

c) Begründen Sie, warum sich nach diesem Modell nie mehr als 3 m³ im Behälter befinden.

g(t) = 3 - e^(-0.1·t) < 3 da etwas kleiner als 3 herauskommt wenn man von 3 eine positive Zahl subtrahiert.