Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ, in denen f stetig ist.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ, in denen f stetig ist.

$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \space f(x):= \begin{cases} \frac{x^3+5x^2+3x-9}{x^2+2x-3} & x \in (-\infty,3]\setminus\{-3,1\}\\ e^{3-x}+5 & x \in (3,\infty)\\ 0 & x=-3 \\ -2 & x=1 \end{cases}$$.

Problem/Ansatz:

Habe mir zur der Funktion ein Bild gemacht und schätze, dass die Funktion auf \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) stetig ist, weiß aber nicht, wie man das zeigen soll. Gerade an der Stelle -3 nicht, da davor ja die erste Polynomfunktion greift, die praktisch als \(x+3, x \ne -3, x \ne 1\) verstanden werden kann und bei x=-3 gegen 0 konvergiert. Die Definitionslücke behebt dann der dritte Fall von f und die Funktion sieht in dem Bereich stetig aus. Wie ich das insgesamt zeigen soll, weiß ich wie gesagt nicht.

Kann jemand da helfen?

Answer 1

Zerlege den Nenner der ersten Zeile in Linearfaktoren (x+3)(x-1). Dann zerlege den Zähler durch Polynomdiv:

f(x) = oberste Zeile = (x-1)(x+3)² / (x+3)(x-1)    Kürze, erlaubt da x=1 und x=-3 ausgeschlossen:

f(x) = oberste Zeile = (x+3)

2. - 4. Zeile bleibt.

Du musst nur die krit. Stellen auf Stetigkeit untersuchen, also die Nahtstellen und Definitionslücken: -3,1,3

x=-3: Simmt das:

\( \lim\limits_{x\to-3, x<-3} \) f(x) =\( \lim\limits_{x\to-3, x>-3} \) f(x)=f(-3)

Ja:     0         =   0     =  0, stetig bei x=-3

x=1: Simmt das:

\( \lim\limits_{x\to1, x<1} \) f(x) =\( \lim\limits_{x\to1, x>1} \) f(x)=f(1)

Ja:    4        =  4      =  -2, unstetig bei x=1

x=3: Simmt das:

\( \lim\limits_{x\to3, x<3} \) f(x) =\( \lim\limits_{x\to3, x>3} \) f(x)=f(3)

Ja:    6        =  e⁰+5      =  6, stetig bei x=3