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Für eine Kongruenz \( R \) iber \( M \) definieren wir folgende Verknüpfung \( \otimes \) auf \( M / R: \)

$$ [s]_{R} \otimes[t]_{R}=[s \odot t]_{R} $$

b) Zeigen Sie: Diese Verknüpfung ist wohldefiniert (d. h. das Ergebnis hängt nicht von den Repräsentanten \( s \) und \( t \) sondern nur von den Klassen \( [s]_{R} \) und \( [t]_{R} \) ab).

c) Zeigen Sie: \( M / R \) bildet mit obiger Verknüpfung ein Monoid.


Problem/Ansatz:

Wie sollte man in diesem Fall zeigen, dass die Verknüpfung wohldefiniert ist? Man muss ja annehmen dass es für alle Elemente aus der Menge M gilt, aber mir fehlt ein richtiger Ansatz.

Hier nochmal die Erläuterung zu Kongruenzen:

Eine solche Relation \( R \) heigt Kongruenz, wenn \( R \) eine Äquivalenzrelation (also reflexiv transitiv und symmetrisch) ist und außerdem \( s R s^{\prime} \) und \( t R t^{\prime} \) für alle \( s, s^{\prime}, t, t^{\prime} \in M \) impliziert, dass \( (s \odot t) R\left(s^{\prime} \odot t^{\prime}\right) \) gilt.
von

Muss da nicht auch noch das Verknüpfungszeichen "⊙" definiert werden?

Eine Verknüpfung auf einer Menge \( A \) ist eine binäre Abbildung \( \odot: A \times A \rightarrow A, \) die wir in der Regel in Infix-Notation schreiben: Wir schreiben also a \(\odot\) b statt \( \odot(a, b) . \) Die Verknüpfung heift assoziativ, wenn \( a \odot(b \odot c)=(a \odot b c)=(a \odot b) \odot c \) für alle \( a, b, c \in \bar{A} \) gilt. Eine Menge \( \bar{S} \) mit einer assoziativen Verkningfung @ heigt Halbgruppe. Eine solche Halbgruppe ist ein Monoid, wenn sie ein neutrales Element besitzt, also ein Element \( 1_{M} \in \overline{M \text { mit } 1_{M} \odot s=s=s} \odot 1_{M} \) für alle \( s \in S \)
Sei \( M \) mun ein Monoid mit der Verknüpfung \odot und \( R \subseteq M \times M \) eine Relation darüber.


Das ist die Beschreibung der Verknüpfung \(\odot\)

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