Finde alle reellen Lösungen der Gleichung

Question

Aufgabe:

Ich brauche Beratung bei dieser Aufgabe.

Als Tipp gab es nur, dass hier die Additionstheoreme angewendet werden können

nur weiß ich nicht genau wie oder wo genau ich Anfangen soll.

Zwar habe ich im Internet recherchiert kam aber auf nichts konkretes was mir weiterhelfen könnte.

Vielleicht kann mir dabei jemand schnell helfen über was ich bescheid wissen muss um diese Aufgabe zu lösen, anstatt sie für mich zu lösen.

Problem/Ansatz:

 *Korrektur

2sin(x) × cos(x) - cos²(x) - sin²(x) = 1

Answer 1

Aloha :)

$$\left.\sin(2x)-\cos(2x)=1\quad\right|\;\text{Additionstheoreme links, trig. Pythagoras rechts}$$$$\left.2\sin x\cos x-\cos^2x+\sin^2x=\sin^2x+\cos^2x\quad\right|\;-\sin^2x+\cos^2x$$$$\left.2\sin x\cos x=2\cos^2x\quad\right|\;:2\cos^2x \quad;\quad\text{Achtung: }\cos x\ne0\text{ vorausgesetzt}$$$$\left.\tan x=1\quad\right|\;\arctan(\cdots)$$$$x=\arctan(1)$$$$x=n\pi+\frac{\pi}{4}\quad;\quad n\in\mathbb{Z}$$

Wir müssen noch den oben ausgeklammerten Fall $\cos x=0$ betrachten. Das heißt:$$x=n\pi+\frac{\pi}{2}\quad;\quad n\in\mathbb{Z}$$Wir setzen diese Werte in die Gleichung ein und prüfen, ob das auch Lösungen sind:

$$\sin(2n\pi+\pi)-\cos(2n\pi+\pi)=\sin\pi-\cos\pi=0-(-1)=1$$Damit sind auch die Nullstellen der Cosinus-Funktion Lösungen der Gleichung. Wir fassen die Lösungen zusammen:

$$x=n\pi+\frac{\pi}{4}\quad;\quad x=n\pi+\frac{\pi}{2}\quad;\quad n\in\mathbb{Z}$$

Answer 2

sin(2x) - cos(2x) = 1

√2/2 * sin(2x) - √2/2 * cos(2x) = √2/2

cos(pi/4) * sin(2x) - sin(pi/4) * cos(2x) = √2/2

sin(2x - pi/4) = √2/2

Nun solltest du das können.

Comments

Wieso werden beide seiten mit √2/2 multipliziert?

Wie gesagt das Hintergrundwissen ist etwas eingerostet bei mir

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Das wäre ein Weg sin(x) - cos(x) mit Hilfe der trigonometrischen Identitäten zusammen zu fassen.

Wenn du dir dazu auch noch die dritte Zeile anschaust verstehst du es vermutlich. Dort ersetze ich √2/2 durch trigonometrische Funktionen.

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So ist eventuell noch etwas einfacher:

sin(2x) - cos(2x) = 1

2·sin(x)·cos(x) - (cos(x)² - sin(x)²) = sin(x)² + cos(x)²

2·sin(x)·cos(x) - cos(x)² + sin(x)² = sin(x)² + cos(x)²

2·sin(x)·cos(x) - cos(x)² = cos(x)²

2·sin(x)·cos(x) - 2·cos(x)² = 0

2·cos(x)·(sin(x) - cos(x)) = 0

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Oh ja das verstehe ich schon eher

sin(x)² + cos(x)² = 1 und dann einfach umstellen

cos(x)·(sin(x) - cos(x)) = 0 | hab beide seiten durch 2 geteilt

Wenn das Produkt von 2 Faktoren = 0 ist dann muss eines der beide ja 0 sein oder.

also habe ich aufgeteilt in

1. cos(x) = 0

2. sin(x) - cos(x) = 0

Für 1. $\frac{π}{2}$+k π

und 2. $\frac{π}{4}$+k π

aber das sind halt ∈ ℤ

gesucht sind aber ∈ ℝ oder ist das auch ok

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k ist Element z. Deine Lösung x ist doch dann Element von R.

Answer 3

Es ist 2x=x+x. Vielleicht hilft das.