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Also ich habe folgende Frage:

Ich habe folgende Funktion gegeben:   f:x → 1/x^2

a.) Wie berechne ich das uneigentliche Integral ∫1/x^2 dx     von 1 bis ∞

b.) Und das Volumen im Intervall von 1 bis +∞. Nachtrag: Die Funktion rotiert um die x-Achse.

Ich würde mich über eine ausführliche Beantwortung freuen damit ich es dann auch verstehe. Danke.
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Wieso Volumen? Ist eine Rotation im Spiel? Sonst haben wir es wohl eher mit einer Fläche zu tun ;).
Stimmt hatte ich vergessen zu erwähnen. Die Funktion rotiert um die x-Achse.

1 Antwort

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Zu a). Eine Stammfunktion von ff ist F(x)=1xF(x)=-\frac1x. Daher gilt1dxx2=limt[1x]1t=limt(1t+1)=1.\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=\lim_{t\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^t=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac1t+1\right)=1.
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Vielen Dank für die Antwort. Kannst du auch noch b.) erklären?
Das Rotationsvolumen berechnet sich nach der FormelV=πab(f(x))2dx.V=\pi\cdot\int_a^b\big(f(x)\big)^2dx.Es ist alsoV=π1dxx4=πlimt[13x3]1t=πlimt(13t3+13)=π3.V=\pi\cdot\int_1^\infty\frac{dx}{x^4}=\pi\cdot\lim_{t\to\infty}\left[-\frac1{3x^3}\right]_1^t=\pi\cdot\lim_{t\to\infty}\left(-\frac1{3t^3}+\frac13\right)=\frac\pi3.

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