Das Inverse vom Inversem (Gruppenbeweis) - Kann mir das jemand erklären?

Question

Aufgabe:

Zu zeigen: \((a^-1{})^{-1} = a\)

In der Vorlesung gezeigt:

Ich zitiere: "Aus $$aa^{-1} = e$$ folgt, dass \(a\) das Inverse von \(a^{-1}\) ist, also \((a^{-1})^{-1}=a.\)"

Problem/Ansatz:

Ich verstehe das aus der Vorlesung zitierte nicht. 
Wieso folgt es aus der genannten Gleichung? 

Ich würde eigentlich die genannte Gleichung umformen bis ich das erhalte was ich zeigen muss. 
Aber bin mir unsicher wie. 

Besten Dank für jede Hilfe !

Answer 1

Aus aa⁻¹=e folgt, dass a das Inverse von a⁻¹ ist

Für sich alleine genommen ist diese Folgerung tatsächlich nicht offensichtlich. Am einfachsten ist sie wohl so zu zeigen:

Satz (Eindeutige Lösbarkeit von Gleichungen). Ist G eine Gruppe und sind g,h ∈ G, dann haben die Gleichungen

        gx = h

und

        xg = h

eindeutige Lösungen für x.

Beweis. Sei G eine Gruppe und g,h ∈ G. Dann gilt

        gx = h
    ⇒ g^-1(gx) = g^-1h
    ⇒ (g^-1g)x = g^-1h  (wegen Assoziativgesetz)
    ⇒ ex = g^-1h         (weil g^-1 invers zu g ist)
    ⇒ x = g^-1h           (wegen Neutralität von e).

Wenn die Gleichung gx = h also eine Lösung für x hat, dann muss diese Lösung g^-1h sein. Einsetzen dieses Lösungskandidaten in die linke Seite der ursprünglichen Gleichung liefert

        g(g^-1h)
    = (gg^-1)h  (wegen Assoziativgesetz)
    = eh         (weil g^-1 invers zu g ist)
    = h           (wegen Neutralität von e).

g^-1h ist also tatsächlich eine Lösung der Gleichung gx=h nach x.

Für die Gleichung xg = h verläuft der Beweis analog.           q.e.d.

Im Lichte dieser Erkenntnis betrachten wir die Gleichung

        xa^-1 = e.

Eine Lösung dieser Gleichung ist a, weil a^-1 invers zu a ist.

Eine Lösung dieser Gleichung ist (a^-1)^-1, weil (a^-1)^-1 invers zu a^-1 ist.

Wegen obigem Satz sind beide Lösungen gleich. Also ist (a^-1)^-1 = a.

Answer 2

(a^{-1})^{-1} = a

a^{-1}·(a^{-1})^{-1} = a^{-1}·a

mit b = a^{-1}

b·b^{-1} = a^{-1}·a

e = e → Stimmt

Jetzt habe ich die genannte Gleichung umgeformt um es zu zeigen.