0 Daumen
964 Aufrufe

Lineare Abbildungen

Sei \( V=\left\{f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \forall x \in \mathbb{R} f(x)=a x^{2}+b x+c\right\} \) der Vektorraum aller
quadratischen Funktionen und die Abbildung \( \varphi: V \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) durch \( \varphi(f)=(f(0), f(1), f(2)) \) definiert.

a) Zeigen Sie, dass \( \varphi \) eine lineare Abbildung ist und begründen Sie (z.B. durch Konstruktion der Umkehrabbildung \( \varphi^{-1} \) ), dass diese Abbildung bijektiv ist.

b) Sei die Abbildung \( \psi: V \longrightarrow \mathbb{R}^{4} \) durch \( \psi(f)=(f(0), f(1), f(2), f(3)) \) definiert. Bestimmen Sie eine Basis des Bildes \( \operatorname{Im} \psi \) (dafür muss man nicht viel rechnen, aber die Lösung sollte kurz begründet werden).

Kern und Bild

Die lineare Abbildung \( f \in \operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^{4}, \mathbb{R}^{3}\right) \) ist wie folgt durch die Bilder der Basisvektoren von \( \mathbb{R}^{4} \) gegeben:

\( f\left(\overrightarrow{e_{1}}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) \quad f\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right) \quad f\left(\overrightarrow{e_{3}}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \quad f\left(\overrightarrow{e_{4}}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ -3 \end{array}\right) \)

Bestimmen Sie Kern und Bild von \( f \) durch Konstruktion entsprechender Basen. Vergessen Sie nicht, den Lösungsweg ausreichend zu kommentieren.

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community