Wahrscheinlichkeit, dass die 4, die kontrolliert werden, direkt hintereinander stehen?

Question

Aufgabe:

… eine Reisegruppe mit 10 Personen möchte von Palumbien nach Rio fliegen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stehen die 4, die kontrolliert werden, in der Warteschlange vor dem Schalter direkt hintereinander?

Problem/Ansatz:

… wie gehe ich da vor ?

Comments

Vermutlich falsch: Betrachte die vier, die im günstigen Falle direkt nebeneinander stehen, als eine Person. Dann gilt $\frac{günstige Fälle}{mögliche Fälle}$ =$\frac{7!}{10!}$ =$\frac{1}{8·9·10}$ =$\frac{1}{720}$ . Da es $\begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix}$ =210 Möglichkeiten gibt, vier aus 10 auszuwählen, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $\frac{210}{720}$ =$\frac{7}{24}$ ≈0,29.

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Warum 11 Personen?

Kann deinen Ansatz nur teilweise verstehen.

Es gibt m:E. 4 Möglichkeiten eine 4er-Block an 10 Stellen zu platzieren.

Und 4! = 24 Möglichkeiten im Block anzuordnen.

Ich komme auf: 4*6!/10! = 0,00476 = 0,476%

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@ Roland

Wie kommt man auf die 720?

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Laut Lösungen hat man:

7×0,35⁴×0,65⁶=0,8%

Aber die 7 verstehe ich nicht.

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Es gibt 7 Möglichkeiten, welche die 4 aufeinanderfolgenden Personen sein können

(1 bis 4, 2 bis 5, 3 bis 6, ..., 7 bis 10)

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Ich hatte doch geschrieben: $\frac{7!}{10!}$ = $\frac{1}{8·9·10}$ = $\frac{1}{720}$ .

Für meine Lösungsidee übernehme ich keine Garantie. Auch für die anderen - abweichenden - Vorschläge kann ich nicht garantieren.

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Wenn ich einen festen 4er-Block nehmen, kann ich den nur 3-mal verschieben bei 10 Positionen.

Im Block kann ich die Reihenfolgen noch vertauschen. So sehe ich das.

Denkfehler?

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Hey hj2166, hättest du vielleicht eine Erklärung für den Gedanken hinter deinem Ansatz oder einen entsprechenden Link? Ich knoble seit einer Weile, will aber nicht recht einleuchten. Ich sehe zwar, dass $\frac{k!\cdot(n-k+1)!}{n!}=\frac{n+1}{\binom{n+1}{k}}$ sich durch Umformung zeigen lässt, aber gibt es ein Gedankenspiel, das direkt auf deine Formel führt? Sowas ähnliches wie bei Kombinationen mit Wdh., wo Trennelemente in die möglichen Auswahlen eingebaut werden?

Answer 1

Aus einer Menge mit 10 Elementen werden vier Elemente ausgewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

Das sind doch gerade  $$\begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix}=210$$. (Mögliche Fälle)

Wie viele Fälle gibt es, bei denen genau vier aufeinanderfolgende Elemente in dieser Menge sind?  Das sind doch 7 Fälle. (günstige Fälle)

Also ist meines Erachtens die Wahrscheinlichkeit:  $$p=\frac{7} {210}=\frac{1} {30}$$.

- Fehler behoben -

Answer 2

Für 10 Personen gibt es 10! Anordnungen

Für

(1 2 3 4) 5 6 7 8 9 0

gibt es

7! * 4! Anordnungen

wenn die 1234 zunächst als 1 Element zählen.

Also ist die Wahrscheinlichkeit

7! * 4! / 10! = 1/30 = 0.0333 = 3.33%

Comments

Warum 7!?

Der ganze Block muss doch geschoben werden.

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Eben ich betrachte die 1234 zunächst zusammengepackt und foliert.

Dann hat man 6 Personen und ein Folienpaket. Dafür gibt es 7! Anordnungen. Wenn man dann die Personen auspackt und untereinander noch anordnet hat man nochmals 4! Möglichkeiten.

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Damit hättest du ja endlich auch das raus, was ich oben schon angegeben hatte.

Nachdem L. die Buchlösung veröffentlicht hat, bleibt nur noch, die Original-Fragestellung zu rekonstruieren, von der der Teil "Jede Person wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 35% kontrolliert" fehlt und die eigentliche Frage lautet "Wie groß ist die W., dass in der Reisegruppe genau vier hintereinander stehende Personen kontrolliert werden ?".

Answer 3

Betrachte die vier, die im günstigen Falle direkt nebeneinander stehen, als eine Person

Das ist ja eines der Standardverfahren zur Lösung und führt zu insgesamt 11 "Personen" und damit zu der Wahrscheinlichkeit   p  =  11 / (11 über 4)  =  1 / 30 .