Hallo,
es gilt:ρ : =k→∞limsupk∣∣∣∣∣4k+1(−1)k∣∣∣∣∣=k→∞limsupkk(4+1/k)1=k→∞limsupkkk4+1/k1=1 mit Konvergenzradius r : =⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ρ1, falls ρ∈(0,∞)∞, falls ρ=00, falls ρ=∞, also r=1.
Für diese Rechnung solltest du gezeigt haben, dass k→∞limkk=1 und k→∞limka=1 für a∈R, a>0.
Du hast also nun ein Konvergenzintervall −1<x<1. Für die Untersuchung an den Randpunkten, pickst du dir einen, z. B. x=1, dann folgt:k=1∑∞4k+1(−1)k1k=k=1∑∞4k+1(−1)k=k=1∑∞(−1)k4k+11 Dieser Ausdruck konvergiert, da 4k+11 eine monoton fallende, relle Nullfolge ist. (Leibniz-Kriterium) Du darfst x=−1 mal selbst probieren! :)