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Untersuchen Sie direkt, also mit Hilfe des Differentialquotienten für ein  n ∈ N die Funktion

f : [0,∞) → [0,∞), x → xn \sqrt[n]{x}


auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie die Ableitung f′(x0) an allen Stellen x0 ∈ [0,∞), an denen Differenzierbarkeit vorliegt.

Problem/Ansatz von MarkLauer:

Ich habe da gerade eine gerine Ahnung wie ich das für die Uni beweisen sollte. Ich hatte den Ansatz, dass ich den Differenzialquotienten hole.

f(x)f(x0)xx0 \frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}

Und ihn in die form bringe.

1xnx0n \frac{1}{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{x0}}

Dann die Wurzel in die Exponentenform bringe.

1x1nx01n \frac{1}{x^{\frac{1}{n}}-x0^{\frac{1}{n}}}

Ich komme her aber nicht mehr weiter und benötige Hilfe.
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Differentialquotient bilden.

Vom Duplikat:

Titel: Differenzenquotienten auf n-te Wurzel von x

Stichworte: wurzel,n-te,differenzenquotient,universität

Aufgabe:

) Untersuchen Sie direkt, also mit Hilfe des Differentialquotienten fur ein  n ∈ N
die Funktion
f : [0,∞) → [0,∞), x → xn \sqrt[n]{x}
auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie die Ableitung f

(x0) an allen Stellen x0 ∈ [0,∞),
an denen Differenzierbarkeit vorliegt.


Problem/Ansatz:

Ich habe da gerade eine gerine Ahnung wie ich das für die Uni beweisen sollte. Ich hatte den Ansatz, dass ich den Differenzialquotienten hole.

f(x)f(x0)xx0 \frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}

Und ihn in die form bringe.

1xnx0n \frac{1}{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{x0}}

Dann die Wurzel in die Exponentenform bringe.

1x1nx01n \frac{1}{x^{\frac{1}{n}}-x0^{\frac{1}{n}}}

Ich komme her aber nicht mehr weiter und benötige Hilfe.

2 Antworten

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Hallo,

f(x)=limyxxnynxy=limyx1k=0n1xnkynn1k=1k=0n1xnn1=1xxnk=0n11=1nxnxf'(x)=\lim\limits_{y\to x}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y}}{x-y}=\lim\limits_{y\to x}\frac{1}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} \sqrt[n]{x}^{k} \sqrt[n]{y}^{n-1-k}}=\frac{1}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} \sqrt[n]{x}^{n-1}}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt[n]{x}}\sum \limits_{k=0}^{n-1} 1}=\frac{1}{n}\frac{\sqrt[n]{x}}{x}

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Der Differenzenquotient f(x)f(x0)xx0\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0} hat nach dem konkreten Einsetzen der Funktion die Form

xnx0nxx0\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{x_0}}{x-x_0}

Nur damit kannst du arbeiten.

Nun gilt folgende Formel:

anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+an4b3+abn2+bn1)a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+a^{n-4}b^3+\cdots ab^{n-2}+b^{n-1})

was umgestellt zu

abanbn=1an1+an2b+an3b2+an4b3+abn2+bn1\frac{a-b}{a^n-b^n}=\frac{1}{a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+a^{n-4}b^3+\cdots ab^{n-2}+b^{n-1}} wird.
Das ist genau die Form deines Differenzenquotienten mit a=xna=\sqrt[n]{x} und  b=x0nb=\sqrt[n]{x_0}. Verwende sie und lasse a=xna=\sqrt[n]{x} gegen b=x0nb=\sqrt[n]{x_0} gehen 

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Wie würde das aussehen, wenn man das mit der form A = nte wurzel x und b = nte wurzel x0 ersetzt

Na eben genau so. Da musst du an jeder Stelle, wo ich a stehen habe, xn\sqrt[n]{x} hinschreiben (b entsprechend). Viel Vergnügen dabei.


An deiner Stelle würde ich mir lieber Gedanken darüber machen, wie der rechte Term aussieht, wenn a=b wäre.

aber was bedeutet an denn? Wie haben sie xn \sqrt[n]{x}  n bekommen?

Ich haben den Ausdruck xn\sqrt[n]{x} als "a" bezeichnet.

Dann ist eben

xn\sqrt[n]{x} hoch n

gleich

"a" hoch n.

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