Question

Untersuchen Sie direkt, also mit Hilfe des Differentialquotienten für ein  n ∈ N die Funktion

f : [0,∞) → [0,∞), x → \( \sqrt[n]{x} \)

auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie die Ableitung f′(x₀) an allen Stellen x₀ ∈ [0,∞), an denen Differenzierbarkeit vorliegt.

Problem/Ansatz von MarkLauer:

Ich habe da gerade eine gerine Ahnung wie ich das für die Uni beweisen sollte. Ich hatte den Ansatz, dass ich den Differenzialquotienten hole.

\( \frac{f(x)-f(x0)}{x-x0} \)

Und ihn in die form bringe.

\( \frac{1}{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{x0}} \)

Dann die Wurzel in die Exponentenform bringe.

\( \frac{1}{x^{\frac{1}{n}}-x0^{\frac{1}{n}}} \)

Ich komme her aber nicht mehr weiter und benötige Hilfe.

Comments

Differentialquotient bilden.

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Vom Duplikat:

Titel: Differenzenquotienten auf n-te Wurzel von x

Stichworte: wurzel,n-te,differenzenquotient,universität

Aufgabe:

) Untersuchen Sie direkt, also mit Hilfe des Differentialquotienten fur ein  n ∈ N
die Funktion
f : [0,∞) → [0,∞), x → \( \sqrt[n]{x} \)
auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie die Ableitung f
′
(x₀) an allen Stellen x0 ∈ [0,∞),
an denen Differenzierbarkeit vorliegt.

Problem/Ansatz:

Ich habe da gerade eine gerine Ahnung wie ich das für die Uni beweisen sollte. Ich hatte den Ansatz, dass ich den Differenzialquotienten hole.

\( \frac{f(x)-f(x0)}{x-x0} \)

Und ihn in die form bringe.

\( \frac{1}{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{x0}} \)

Dann die Wurzel in die Exponentenform bringe.

\( \frac{1}{x^{\frac{1}{n}}-x0^{\frac{1}{n}}} \)

Ich komme her aber nicht mehr weiter und benötige Hilfe.

Answer 1

Hallo,

$$f'(x)=\lim\limits_{y\to x}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y}}{x-y}=\lim\limits_{y\to x}\frac{1}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} \sqrt[n]{x}^{k} \sqrt[n]{y}^{n-1-k}}=\frac{1}{\sum \limits_{k=0}^{n-1}  \sqrt[n]{x}^{n-1}}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt[n]{x}}\sum \limits_{k=0}^{n-1}  1}=\frac{1}{n}\frac{\sqrt[n]{x}}{x}$$

Answer 2

Der Differenzenquotient $$\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}$$ hat nach dem konkreten Einsetzen der Funktion die Form

$$\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{x_0}}{x-x_0}$$

Nur damit kannst du arbeiten.

Nun gilt folgende Formel:

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+a^{n-4}b^3+\cdots ab^{n-2}+b^{n-1})$$

was umgestellt zu

$$\frac{a-b}{a^n-b^n}=\frac{1}{a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+a^{n-4}b^3+\cdots ab^{n-2}+b^{n-1}}$$ wird.
Das ist genau die Form deines Differenzenquotienten mit \(a=\sqrt[n]{x}\) und  \(b=\sqrt[n]{x_0}\). Verwende sie und lasse \(a=\sqrt[n]{x}\) gegen \(b=\sqrt[n]{x_0}\) gehen 

Comments

Wie würde das aussehen, wenn man das mit der form A = nte wurzel x und b = nte wurzel x0 ersetzt

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Na eben genau so. Da musst du an jeder Stelle, wo ich a stehen habe, \(\sqrt[n]{x}\) hinschreiben (b entsprechend). Viel Vergnügen dabei.

An deiner Stelle würde ich mir lieber Gedanken darüber machen, wie der rechte Term aussieht, wenn a=b wäre.

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aber was bedeutet aⁿ denn? Wie haben sie \( \sqrt[n]{x} \) ⁿ bekommen?

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Ich haben den Ausdruck \(\sqrt[n]{x}\) als "a" bezeichnet.

Dann ist eben

\(\sqrt[n]{x}\) hoch n

gleich

"a" hoch n.