Fehler beim Quotientenkriterium

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

2) $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} \cdot n !}{(2 n) !}$
$$=\frac{\frac{2^{n+1} \cdot n+1 !}{(2 n+1) !}}{\frac{2^{n} \cdot n !}{(2 n) !}}=\frac{2^{n+1} \cdot n+1 !(2 n) !}{2^{n} \cdot n ! \cdot(2 n+1) !}$$
$\frac{2 \cdot(n+1) \cdot(2 n) !}{(2 n+1) !}=\frac{2 \cdot(n+1)}{(2 n+1)}=\frac{2 n \cdot 2}{2 n+1}$
$=\frac{4 m}{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}=\frac{4}{2}=2$

Problem/Ansatz:

Laut einem Grenzwertrechner aus dem Internet kommt als Grenzwert 0 raus.

Bei mir leider nicht, sieht jemand meine Fehler?

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Hallo Jaffa,

wenn Du $n$ um $1$ erhöhst, so wird aus $(2n)!$ der Term $(2(n+1))!$ und nicht $(2n+1)!$. Die Rechnung wäre dann $$\begin{aligned} \frac{ \frac{2^{n+1} \cdot (n+1)!}{(2(n+1))!} }{ \frac{2^n \cdot n!}{(2n)!} } &= \frac{2(n+1)}{(2n+1)(2n+2)} \\ &= \frac{1}{2n+1} \to 0 \end{aligned}$$

Comments

Immer vergesse ich diese verflixten Klammern!!

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Ich verstehe leider immer noch nicht wie diese (2n + 2) im Nenner zustande kommt, könntest du mir das nochmal erklären? :/

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Ich verstehe leider immer noch nicht wie diese (2n + 2) im Nenner zustande kommt ...

Betrachte nur die Nenner in dem Doppelbruch$$\frac{ \frac 1{(2(n+1))!} }{ \frac1{(2n)!} } = \frac{ \frac 1{(2n+2)!} }{ \frac1{(2n)!} } = \frac{ \frac 1{(2n+1)! \cdot (2n+2)} }{ \frac1{(2n)!} }\\ \space = \frac{ \frac 1{(2n)! \cdot (2n+1)(2n+2)} }{ \frac1{(2n)!} } = \frac{ \frac 1{ (2n+1)(2n+2)} }{ \frac1{1} } =\frac 1{ (2n+1)(2n+2)}$$

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Ahhhh die Umstellung im Nenner basiert auf diesem Prinzip: (n+1)! = n! * (n+1) richtig?

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die Umstellung im Nenner basiert auf diesem Prinzip: (n+1)! = n! * (n+1) richtig?

ja - genau ;-)