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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Dimension der Eigenräume der folgenden Matrix:

\( A=\left(\begin{array}{lll}{2} & {0} & {0} \\ {1} & {3} & {0} \\ {4} & {5} & {6}\end{array}\right) \)


Problem/Ansatz:

Meine Idee wäre folgende:

1. Eigenwerte bestimmen. Dabei kamen folgende raus:

λ1 = 2,

λ2 = 3,

λ3 = 6.


2. Eigenvektoren bestimmen. Dabei ging ich so vor:

a) λ1 = 2 in A eingesetzt und auf Zeilen-Stufenform gebracht:

\( \left(\begin{array}{lll}{1} & {0} & {-4} \\ {0} & {1} & {4} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right) \)

Woraus dann schließlich Eigenvektor v=(5, -4, 1) rauskam.


b)  λ2 = 3 in A eingesetzt und auf Zeilen-Stufenform gebracht:
\( \left(\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {3/5} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right) \)
Woraus dann schließlich Eigenvektor v=(0, -3/5, 1) rauskam.


c) λ3 = 6 in A eingesetzt und auf Zeilen-Stufenform gebracht:
\( \left(\begin{array}{lll}{4} & {5} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right) \)
Woraus dann schließlich Eigenvektor v=(0, 0, 1) rauskam.


3. Eigenräume bestimmen

Wäre ja einfach der jeweilige Eigenvektor*k für k ∈ ℝ oder?


Nun die Frage wie ich daraus die Dimension bekomme.... 


Vielen Dank für jede Antwort!

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1 Antwort

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Den Eigenvektor λ=2 würd ich so nicht unterschreiben.

Die Dimension = n- Rang(A-λE)
des Eigenraumes ist die Anzahl der freien Variablen oder der Eigenvektoren zu einem Eigenwert...  Ausführlich https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

Wenn DUs rechnen willst kannst Du den TEX-Code von A in die Zeile (1) kopieren

Avatar von 21 k

also wäre die Dimension jeweils 1, weil es ja 3x3-Matrizen sind (daher n=3) und der Rang(A-λE) jeweils 2 ist, da es 2 linear unabhängige Spaltenvektoren je Matrix gibt (weil immer 1 Nullzeile gibt).

Dimension = n - Rang(A-λE). also 3-2 = 1.

Korrekt?

Yep,

3 mal das gleiche. 3 x Dim 1 = 3 = n ==> Matrix diagonalisierbar

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