Zeigen, dass V die direkte Summe von Kern und Bild

Question

Aufgabe:

Es seien \( K \) ein Körper und \( \mathcal{U}, \mathcal{V}, \mathcal{W} \) drei \( K \) -Vektorräume. Weiter seien \( f\in \operatorname{Hom}(\mathcal{U}, \mathcal{V}) \) und \( g\in \operatorname{Hom}(\mathcal{V}, \mathcal{W}) \) so, daß \( g\circ f\) ein Isomorphismus ist. Zeigen Sie
\( \mathcal{V}=\operatorname{Bild}(f) \oplus \operatorname{Kern}(g) \)

 Ansatz:

Ich habe bereits gezeigt, dass Bild(f)∩Kern(g)  = {0}. Weiß jemand von euch, wie man zeigt, dass V = Bild(f) + Kern(g) ?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Hallo,

Für \(v \in V\) zerlege: \(v=p+q\) mit

$$p=f \circ(g \circ f)^{-1} \circ g (v)$$

Dann ist \(q=v-p\) im Kern von g.

Gruß

Comments

Vielen Dank!!!!! Okay, und \(q \in Kern (g) \), da

\(g(v - p) = g(v) - g(p) = g(v) - (g \circ f)((g \circ f)^{-1}(g(v))) = g(v) - g(v) = 0\)

Alles klar!