Dualräume: Dimension vom Anihilator

Question

Ich verstehe folgendes nicht im Beweis.

Sei V K-Vektorraum und U Untervektorraum von V. Dann heißt \(U°:=\{\varphi\in V^*: \varphi(u)=0 \ \forall \ u \in U\} \) der Anihilator von U.

Behauptung: \(\dim(U°)=\dim(V)-\dim(U)\).

Beweis. Sei \((u_1,...,u_k)\) Basis von U. Erweitere diese zu einer Basis \(B=(u_1,...,u_k,v_1,...,v_r) \) von V, wobei \(\dim(V)=k+r \).

Jetzt kommt der Teil, den ich nicht verstehe:

Es gilt, dass \(v_1^*,...,v_r^*\) eine Basis von U° ist. Es gilt nämlich \(v_i^*(u_j)=0 \) für alle \(i=1,...,r\) und alle \(j=1,...,k\), sodass \(v_i^*\in U° \) gilt.

Das hier verstehe ich wieder, wenn ich oberes einfach mal hinnehme:

Es gilt also \(v_i^*(u)=\sum\limits_{j=1}^k b_j\cdot u_j =\sum\limits_{j=1}^k b_j\cdot v_i^*(u_j)=0 \). \(v_1^*,...,v_r^*\) sin linear unabhängig, denn sie sind aus der dualen Basis \(B^*=(u_1^*,...,u_k^*,v_1^*,...,v_r^*)\).

\(v_1^*,...,v_r^*\) erzeugen U°. Sei dazu \(\varphi\in U°\). Dann ist \(\varphi \in V^*\), sodass es Koeffizienten gibt mit \(\varphi=(\sum\limits_{i=1}^k a_i\cdot u_i^*)+(\sum\limits_{j=1}^r b_j\cdot v_j^*)\)

Was dazu noch kommt ist aber weiter nicht mehr wichtig, da mich halt der obere Teil sehr verwirrt.

Answer 1

Die Reihenfolge der Sätze scheint etwas durcheinander geraten zu sein.

Der letzte Halbsatz ("sodass ...") zwischen deinen grünen Sätzen gehört gehört ans Ende des nachfolgenden Satzes, der also mit "... = 0, sodass..." enden sollte.
In diesem Satz fehlt nach dem ersten Gleichheitszeichen ein v_i*(..)

wenn ich oberes einfach mal hinnehme
Dass es sich bei v_1* ... v_r*  um eine Basis handelt sollst du nicht hinnehmen, denn genau das wird in den folgenden drei Gedankengängen bewiesen:
Zunächst, dass die v_i* in U° sind :  Der Teil zwischen deinen grünen Sätzen ergibt sich aus der Definition der v_i* und wird im nächsten Satz zu Ende geführt.
Danach, dass die v_i* l.u. sind,
und schließlich, dass sie ein Erzeugendensystem von U° bilden (diesen Teil des Beweises hast du mittendrin abgeschnitten).

Comments

Ja, der Beweis ist hier nicht ganz vollständig aufgeführt. Aber mir ist zunächst wichtig, warum das zwischen den grünen Zeilen so funktionieren soll, wie es da steht. Mir wurde der Beweis so gegeben und habe da an den den Argumentationsabfolgen nichts verändert.

Zunächst, dass die v_i* in U° sind :  Der Teil zwischen deinen grünen Sätzen ergibt sich aus der Definition der v_i*

Das sehe ich eben nicht! So, wie es da steht, wird mir eben nicht klar, warum \( v_i^*(u_j)=0\) für alle \(i=1,...,r\) und alle \(j=1,...,k\) gelten soll. Ich kannte das bisher immer in dieser Form: \(v_i^*(v_j)=\delta_{ij} \) für \(i,j=1,...,n\). Dabei seien \(v_i\) und \(v_i^*\) die jeweiligen Basisvetoren von \(V \) bzw  \(V^* \).

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Ok, nun habe ich den Teil, zwischen den grünen Zeilen auch verstanden. So wie die Basis im Beweis dort hingeschrieben wurde, ist dies aber schon verwirrend. Man kann aber jetzt einfach mal die Basis so hier benennen: \(B=(w_1,...,w_k,w_{k+1},...,w_r) \), wobei die Vektoren \(w_1,...,w_k\in U \) die Vektoren \(u_1,...,u_k\in U\) und die Vektoren \(w_{k+1},...,w_r\in V \) die ergänzten Vektoren \(v_1,...,v_r \in V\) darstellen. Entsprechend wird das bei der dualen Basis getan, sodass man \(B^*=(w^*_1,...,w^*_k,w^*_{k+1},...,w^*_r) \) erhält. Führe ich nun den exakt selben Schritt wie im Beweis durch, dann ist klar, was passiert: \(w^*_i(w_j)=0 \) für alle \(i=1,...,k\quad j=k+1,...,k+r\). Führt man das jetzt wieder auf die Schreibweise aus dem Beweis zurück, so hat man wieder \(v^*_i(u_j)=0\) für alle \(i=1,...,k\quad j=1,...,r\), da ich hier wieder die Schreibweise \(B=(u_1,...,u_k,v_1,...,v_r)\) verwendet habe.