Aloha :)
Der Beweis funktioniert am einfachsten "rückwärts". Das heißt, du gehst davon aus, dass du die beiden Nullstellen bei \(x=a\) und bei \(x=b\) kennst. Die quadratische Gleichung sieht dann so aus:$$(x-a)\cdot(x-b)=0$$
Jetzt multiplizierst du auf der linken Seite die Klammen aus:$$x^2-ax-bx+(-a)(-b)=0$$
und vereinfachst noch soweit wie möglich:$$x^2\underbrace{-(a+b)}_{=p}x+\underbrace{a\cdot b}_{=q}=0$$Jetzt erkennt man schön, dass \(p=-(a+b)\) und \(q=a\cdot b\) ist:$$x^2+px+q=0\quad;\quad p=-(a+b)\;\;;\;\;q=a\cdot b$$
Ein Beispiel dazu:
Löse: \(x^2+5x+6=0\)
Suche alle Faktorzerlegungen der \(6\), also: \(1\cdot6=2\cdot3=(-1)\cdot(-6)=\cdot(-2)\cdot(-3)\).
Prüfe, ob die Summe von zwei dieser Faktoren \(5\) wird: \(2+3=5\quad\checkmark\)$$\Rightarrow\quad(x+2)(x+3)=0$$
