Problem mit linearen Ausgleichsproblemen

Question

a) Für ein lineares Ausgleichsproblem mit den Daten $$\begin{array}{c|cccc}{i} & {1} & {2} & {3} & {4} \\ \hline t_{i} & {0} & {1} & {4} & {9} \\ \hline y_{i} & {-2} & {3} & {0.5} & {2}\end{array}$$ soll der Ansatz $$y(t)=x_{1} t^{2}+3 x_{2} \sqrt{|t|}-x_{3}$$ verwendet werden. i) Wie sind die linear unabhängigen Ansatzfunktionen zu wählen? Geben Sie diese explizit an. ii)Geben Sie die für das zugehörige Ausgleichsproblem min $$_{x \in \mathbb{R}^{3}}\|A x-b\|_{2}^{2}$$ notwendige Matrix A explizit an.

Weiß jetzt nicht wie ich dort vorgehen muss, für I) soll ich die Funktionswerte also  jedes x bestimmen?

$$y(0) =x_{1} 0^{2}+3 x_{2} \sqrt{|0|}-x_{3} = -2$$

$$\implies x_{3} = -2$$

$$y(1) =x_{1} 1^{2}+3 x_{2} \sqrt{|1|}-x_{3} =3$$

$$y(4) =x_{1} 4^{2}+3 x_{2} \sqrt{|4|}-x_{3} = 0.5$$

$$y(9) =x_{1} 9^{2}+3 x_{2} \sqrt{|9|}-x_{3} = 2$$

Für ii) habe ich nur den Ansatz eine Matrix zu erstellen die in der 1. Spalte vier 1 aufweist, ist dies soweit korrekt?

Answer 1

Aloha :)

Zur Bestimmung der linearen Funktionen, musst du die $t_i$-Werte einsetzen:

$$\begin{array}{c}y(0)&=& & & &-&x_3&\stackrel{!}{=}&-2\\y(1)&=&x_1 &+& 3x_2 &-&x_3&\stackrel{!}{=}&3\\y(2)&=&16x_1 &+& 6x_2 &-&x_3&\stackrel{!}{=}&\frac{1}{2}\\y(4)&=&81x_1 &+& 9x_2 &-&x_3&\stackrel{!}{=}&2\end{array}$$Daran kannst du nun alle gesuchten Leute ablesen:

$$A=\left(\begin{array}{c}0 & 0 & -1\\1 & 3 & -1\\16 & 6 & -1\\81 & 9 & -1\end{array}\right)\quad;\quad\vec b=\left(\begin{array}{c}-2\\3\\\frac{1}{2}\\2\end{array}\right)$$

Das Ausgleichsproblem ist dann:

$$A^TA=\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 16 & 81\\0 & 3 & 6 & 9\\-1 & -1 & -1 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 0 & -1\\1 & 3 & -1\\16 & 6 & -1\\81 & 9 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6818 & 828 & -98\\828 & 126 & -18\\-98 & -18 & 4\end{array}\right)$$$$A^T\vec b=\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 16 & 81\\0 & 3 & 6 & 9\\-1 & -1 & -1 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-2\\3\\\frac{1}{2}\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}173\\30\\-\frac{7}{2}\end{array}\right)$$$$\vec x=\left(A^TA\right)^{-1}\left(A^T\vec b\right)=\left(\begin{array}{r}-0,0324\\0,5955\\1,0104\end{array}\right)$$

Comments

Wo hat man dort nun die Norm benutzt? Und wie kommt man dararuf diese Matrix-Gleichungen zu benutzen?

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Das ist die sog. "Normalengleichung." Dazu habe ich vor kurzem eine Antwort geschrieben, in der das detailliert erklärt ist.

https://www.mathelounge.de/689654/normalengleichung-losen-in-lineare…

Vielleicht möchtest du dir das ja mal durchlesen...

Die angegebene Lösung minimiert die Norm und ist daher nach dem Verfahren der kleinsten Fehlerquadrate die "bestmögliche" Anpassung.

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Frage dazu in wie fern stehen diese Gleichungen mit der transponierten von A multipliziert mit A usw im Zusammenhang mit dem angegeben r Vektor ?

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Damit die Länge des r-Vektors minimal wird, muss er auf allen Spaltenvektoren der Matrix $A$ senkrecht stehen. In $A^T$ werden aus den Spaltenvektoren entsprechende Zeilenvektoren. Das heißt, der r-Vektor muss auf allen Zeilenvektoren von $A^T$ senkrecht stehen. Daher muss gelten:$$A^T\cdot\vec r=\vec 0$$Und der r-Vektor ist ja gerade$$\vec r=A\cdot\vec x-\vec b$$Damit hast du dann die Normalengleichung:$$A^TA\cdot\vec x-A^T\cdot\vec b=\vec 0$$