Question

Sei W ein fünfdimensionaler K-Vektorraum und U; V zwei Untervektorräume mit
dimK(U) = 3; dimK(V ) = 4:

Welche Werte kann dimK(U geschnitten V ) annehmen?

Tipp: Betrachten Sie auch dimK(U + V ).

Geben Sie für jeden der möglichen Werte ein Beispiel (für K;W; U; V ) an.

Comments

@Anonym: Wenn du aus einer PDF direkt kopierst, wäre es schön, mindestens die Umlaute zu korrigieren, damit die Frage leichter lesbar ist. Bsp: fur → für

Answer 1

dimK(U) = 3; dimK(V ) = 4:
 

Annahme: Für die Dimensionen sind nur natürliche Zahlen zugelassen, wie zum Beispiel in IR⁵

Welche Werte kann dimK(U n V ) annehmen?

2 oder 3.

Grösser als 3 kann die Dimension nicht werden, da U n V nicht über U hinausgehen kann.

Kleiner als 2 geht auch nicht, da (U u V) ganz in W liegt und deshalb dim(U u V) höchstens 5 sein kann.

Es gilt allgemein:

dimK(U u V) = dimK( U ) + dimK (V) - dimK (U n V) resp.

 

dimK(U n V) = dimK (U) + dimK (V) - dimK (U u V) = hier

3+4 - maximal 5 

somit mindestens 2.

 

Beispiele in W= IR⁵ mit der standardmässigen Basis e1, e2, e3, e4, e5

Damit dimK(U n V ) = 2.

Bsp: U mit Basis (e1, e2, e3) und V mit Basis (e2,e3,e4,e5).  U n V hat Basis (e2,e3) also Dimension 2

 

Damit dimK(U n V ) = 3. 

Bsp: U mit Basis (e1, e2, e3) und V mit Basis (e1,e2,e3,e4).  U n V hat Basis (e1,e2,e3) also Dimension 3