Cauchy Produkt von „Summe“n*qn für q<1

Question

Aufgabe:

Cauchy-Produktformel für Geometrische Reihen

a) Bestimmen Sie das Cauchy-Produkt von $\sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n}$ mit sich selbst $(|q|<1)$

b) Berechnen Sie $\sum \limits_{n=0}^{\infty} n q^{n}$ für $|q|<1$

c) Was ist $\frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots ?$

LÖSUNG:

Zur Wiederholung der Cauchy-Produktformel: sind $\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}$ und $\sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n}$ absolut konvergent dann ist auch die Reihe $\sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n}$ mit $c_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} b_{n-k}$ absolut konvergent und es gilt $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} b_{n-k}\right)=\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\right) \cdot\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n}\right)$$

a) $\sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n} \sum \limits_{m=0}^{\infty} q^{m}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \sum \limits_{k=0}^{n} q^{k} q^{n-k}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n} .$ Da beide Faktoren absolut konvergent
sind ist auch die Reihe rechts absolut konvergent.

b) $\sum \limits_{n=0}^{\infty} n q^{n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n}-\sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n}=\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n}=\frac{1}{(1-q)^{2}}-\frac{1}{1-q}=\frac{q}{(1-q)^{2}},$ da

c) $\frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots=\sum \limits_{n=0}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}}=2$

Ich habe diese Aufgabe mit Lösungen, die a) verstehe ich auch, aber ich verstehe den Ansatz bei der b) nicht (den ersten Schritt). Könnte mir jemand helfen?

Answer 1

Bei b) wird auf das Ergebnis von a) zurückgegriffen.

Dort liegt bereits eine Formel vor, wie man

$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n}$ berechnen kann, nämlich als

$\sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n} \sum \limits_{m=0}^{\infty} q^{m}$.

Nun besteht die Aufgabe, $\sum \limits_{n=0}^{\infty}n q^{n}$ zu berechnen, und das erhält man, wenn man von

$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n}$ den Term $\sum \limits_{n=0}^{\infty}1\cdot q^{n}$ subtrahiert.

Comments

\wie bekommt man bei a) (n+1) am Ende