Partialbruchzerlegung Probleme

Question

Hallo, habe folgende Aufgabenstellung und komme leider auf keinen grünen Zweig :( Die Lösung ist mir lt. Prof. ebenfalls bekannt, nur weiß ich nicht genau wie ich dort hinkomme. Die Partialbruchzerlegung findet im Rahmen einer z-Transformation statt.

Aufgabe:

\( \frac{x^{2}}{(x-\frac{3}{5} )* (x+\frac{2}{3})} \ =  \frac{A}{(x-\frac{3}{5} )} \ +  \frac{B}{(x+\frac{2}{3})}) \)

Problem/Ansatz:

Das Problem besteht darin, dass wenn ich den Koeffizientenvergleich mache mit x^2 kommt 1 = 0 raus. bei x^1 steht 0 = A + B und bei x^0 steht (2/3)A - (3/5)B

Weiß hier jemand weiter? Die Lösung sollte folgendes sein: A = 9/19 und B = 10/19

Answer 1

Der Bruch \( \frac{x^2}{(x-3/5)(x+2/3)} \) ist zunächst mal

\( \frac{x^2}{x^2+x/15-2/5}=1- \frac{x/15 +2/5}{x^2+x/15-2/5}= 1- \frac{x/15 +2/5}{(x-3/5)(x+2/3)}\) .

JETZT kannst du für den verbleibenden Bruch eine PBZ machen.

Comments

Hallo, ganz genau verstehe ich noch nicht was du hier gemacht hast. Hast du mit x^2+x/15-2/5 erweitert?

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Ich habe den Zähler x² als x²+x/15-2/5 - (x/15-2/5) geschrieben. Damit kann der vorgegegebe Bruch als Differenz der Brüche

\( \frac{x²+x/15-2/5}{x²+x/15-2/5} \)  und  \(\frac{x/15-2/5}{x²+x/15-2/5} \) geschrieben werden.

Der vordere Bruch ergibt 1.

Answer 2

Hallo,

eigentlich ganz klassisch. Fasse die Werte mit und ohne \(x\) zusammen:$$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{(x-\frac{3}{5} )\cdot (x+\frac{2}{3})}  &=  \frac{A}{(x-\frac{3}{5})} \ +  \frac{B}{(x+\frac{2}{3})} \\ x^2 &= Ax + \frac 23 A + Bx  - \frac 35 B \\ x^2 &= \underbrace{(A+B)}_{=x}x +  \underbrace{\left( \frac 23 A - \frac 35B \right) }_{=0} \\ \implies &\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2/3 & -3/5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ 0 \end{pmatrix}\\ \implies A &= \frac 9{19}x, \quad B = \frac{10}{19}x \end{aligned}$$das \(x\) kann natürlich auch in \(A\) und \(B\) enthalten sein. Es kommt ja rechts kein Term mit \(x^2\) vor! Also müssen \(A\) und \(B\) Produkte mit \(x\) sein.

Ein Alternative ist dieser Ansatz $$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{(x-\frac{3}{5} )\cdot (x+\frac{2}{3})}  &=  \frac{A}{(x-\frac{3}{5} )} \ +  \frac{B}{(x+\frac{2}{3})} + C \\ x^2 &= A\left(x+\frac{2}{3} \right) + B\left( x-\frac{3}{5}\right) + C\left(x-\frac{3}{5} \right)\cdot \left(x+\frac{2}{3}\right) \end{aligned}$$Dann ist \(C=1\) und in \(A\) und \(B\) ist kein \(x\) mehr enthalten. \(A=27/95\) und \(B=-20/57\), wenn ich mich nicht verrechnet habe. Hat aber mit der Lösung Deines Profs nichts mehr zu tun.

Die von Dir angegebene Lösung stimmt, wenn links ein \(x\) statt des \(x^2\) im Zähler steht.

Comments

Super allerbesten Dank für die schnelle Antwort!
Stimmt wenn ein x statt x^2 verwendet wird, kommen die Lösungen lt Prof raus. Sehr merkwürdig! Evtl ein Schreibfehler.

Aber angenommen das x^2 stimmt, wie komme ich den genau auf C bzw. das C = 1 sein muss. Ist das ebenfalls ein fertiger Ansatz, falls ein quadrat im Zähler steht?

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... wie komme ich den genau auf C bzw. das C = 1 sein muss.

Na ja - das ist doch der einfachste Teil. Nehme die Gleichung oben und multiplizere aus. Dann steht da sowas wie $$x^2 = C \cdot x^2 + (\dots)\cdot x + (\dots)$$Der Koefizientenvergleich liefert dann $$x^2 = C \cdot x^2$$wie groß ist nun \(C\), wenn diese Gleichung für jeden Wert von \(x\) erfüllt sein soll?