Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit z^2 = -2i

Question

Aufgabe:

Siehe Titel + geben Sie diese jeweils in der Form z = a+bi  mit a, b aus R an.

Problem/Ansatz:

\( z^{2}=-2 i \)
\( (a+b i)^{2}=-2 i \)
\( a^{2}+a b i+b i a+b i^{2}=-2 i \)
\( a^{2}+a b i+b i a+b i^{2}-2 i=0 \)
\( \rightarrow \) Realteil: \( a^{2}=0 \Rightarrow\boxed{a=0} \)

\( \rightarrow \) Imaginärteil: \( a b i+b i a+b i^{2}-2 i=0 \)
\( a=0 \Rightarrow b i^{2}-2 i=0 \)

\(-b-2i=0\)

\(\boxed{b=-2i}\)

$$ z=-2 i ? ? $$

Answer 1

Hallo,

z^2= -2i ;z=a+bi

(a+bi)^2= -2i

a^2 +2abi  -b^2= -2i

Realteil:       a^2-b^2= 0

Imaginärteil:  2ab= -2

Lösung:

z₁= -1 +i

z₂= 1-i

Comments

Vielen Dank schon mal!

Zum einen mal die Frage, warum bei deinem Realteil das "-b²" dazu kommt, müsste das nicht zum Imaginärteil? Falls nein, dann warum ist das so?

Zum anderen versteh ich den schritt von den beiden Teilen zur Lösung nicht. Wie kommst du auf z1 = -1+i bzw. z2 = 1-i ?

LG!

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Guck dir das einmal genauer an: 2ab= -2, wie muss ich a und b wählen, damit am Ende -2 heraus kommt...

Hinweis:

2(-1)(1) = -2

2(1)(-1) = -2

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Hallo,

b i* b i = i^2 *b^2

i^2 ist immer -1

----->

-b^2 gehört zum Realteil

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1) 2ab = -2 |:2

ab= -1

a= (-1)/b ; b ≠ 0

einsetzen in

2)a^2-b^2=0 |+b^2

a^2=b^2

1/b^2 =b^2 | *b^2

1 =b^4

b₁= -1

b₂= 1

b₃= -i

b₄= i

b3 und b4  entfallen

b1 und b2 eingesetzt  in

ab= -1

a₁= 1

a₂= -1

dann mit dem angegebenen Ergebnis

Answer 2

Naja (-2i)^2 = -4 ≠ -2i.

Via Polarkoordinaten:

-2i hat einen Winkel von -90° = 270° = 3π/2.

\(z^2 = -2i \\ \Longrightarrow z = \sqrt{|-2i|} \cdot \exp\left(i\cdot \left(\dfrac{3\pi}{2} \, + 2k \pi\right)\right)^{1/2} = \sqrt{2}\cdot \exp\left(i\cdot \left(\dfrac{3\pi}{2} \, + 2k \pi\right)\right)^{1/2}\)

mit \(k\in \{0,1\}\).

\(k=0\!: \sqrt{2}\cdot \exp\left(i\cdot \left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right)^{1/2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{-i}=1-i\)
\(k=1\) analog.

Answer 3

Dein Vorgehen ist im Prinzip richtig, aber Du hast nicht richtig zusammengefasst:

\( +bi^2 = -b \),

und damit ist das reell und nicht komplex.