Stammfunktionen bestimmen bei Integralen um später mit dem Hauptsatz arbeiten zu können

Question

Um Integrale mit dem Hauptsatz berechnen zu können muss man ja zunächst die Stammfunktionen der Funktionen beim Integral bilden können. Bei einfachen Funktionen wie x^6 geht das auch noch ganz einfach aber bei schwereren Funktionen komm ich nicht weiter weil ich nicht weiß wies das geht. Wäre nett wenn mir das jemand erklären kann, auch im Allgemeinen.

Hier sind ein paar Beispiele anhand denen mir das vielleicht jemand erklären könnte, weil ich gerade diese nicht verstehe:
f(x)= 1/4 x^-2

f(x)= 2/(5x²)

f(x)=x^2*x^3

f(x)=1/x² +x

 

Comments

Darfst du hier 

1.        f(x) = x^n           → F(x) = 1/(n+1) * x^{n+1} + C  

Und 

2.      F(x) ist Stammfunktion von f(x) und G(x) Stammfunktion von g(x) → F(x) + G(x) ist Stamfunktion von f(x) + g(x) 

verwenden oder sollst du das zeigen?

Mit 1. kannst du die Stammfunktion von f(x) = x^2 * x^3 = x^5 sofort berechnen.

Mit 1. und 2. auch auch die von f(x) = 1/x^2 + x = x^{-2} + x                   für n= -2 resp. 1 einsetzen… 

Die ander lassen sich ähnlich lösen.

Falls du 1. und 2. erst zeigen musst, wäre meine Frage: Wie habt ihr Stammfunktion definiert?

Answer 1

Die Potenzregel beim Integrieren lautet: Zunächst wird der Exponent um eins erhöht und dann wird durch den neuen Exponenten geteilt oder mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multipliziert.

Ich versuche mal verständlich zu lösen.

f(x)= 1/4 * x^-2
F(x) = 1/4 / (-1) * x^-1 = -1/4 * x^-1 = -1/(4x)

f(x)= 2/(5x²) = 2/5 * x^-2
F(x) = 2/5 / (-1) * x^-1 = -2/5 * x^-1 = -2/(5x)

f(x) = x^2 * x^3 = x^5
F(x) = 1/6 * x^6

f(x) = 1/x² + x = x^-2 + x
F(x) = -x^-1 + 1/2 * x^2 = -1/x + 1/2 * x^2