Überprüfen Sie durch numerische Integration

Question

Aufgabe: Überprüfen Sie durch numerische Integration mit dem Taschenrechner anhand selbst gewählter Werte für μ und σ.

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}$ x×φ_μ;σ(x)dx = μ

Problem/Ansatz:

Hi, ich weiß nicht was damit gemeint ist. Der Lehrer gab uns den Tipp mit der Gauß'schen Glockenfunktion zu arbeiten.

Jetzt hab ich nun

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}$ x × $\frac{1}{σ×\sqrt{2π}}$ × $e^{-\frac{(x-μ)^{2}}{2σ^{2}}}$ dx

Weiter weiß ich leider nicht. Danke schon mal für alle Antworten.

Answer 1

Aloha :)

Das ist die Formel für den Erwartungswert $\langle x\rangle$ einer normal-verteilten Zufallsgröße:$$\langle x\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot\frac{1}{\sigma\,\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\right)\,dx$$Ich würde das Integral zunächst normalisieren und dann für den normalisierten Fall berechnen. Dazu substituiere:$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}\quad;\quad \frac{dz}{dx}=\frac{1}{\sigma}\;\text{ bzw. }\;dx=\sigma\,dz\quad;\quad z(-\infty)=-\infty\quad;\quad z(\infty)=\infty$$Damit erhalten wir:$$\langle x\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty\left(z\sigma+\mu\right)\cdot\frac{1}{\sigma\,\sqrt{2\pi}}e^{-z^2}\,\sigma\,dz=\int\limits_{-\infty}^\infty\left(z\sigma+\mu\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2}\,dz$$$$\phantom{\langle x\rangle}=\sigma\underbrace{\int\limits_{-\infty}^\infty z\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2}\,dz}_{=0}+\mu\underbrace{\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2}\,dz}_{=1}=\mu$$Das erste Integral ist $=0$, weil der Integrand punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Das zweite Integral ist $=1$, weil normal-verteilte Wahrscheinlichkeitsdichten normiert sind.

Du brauchst also eigentlich nur das Integral, was zu $1$ wird, numerisch zu berechnen und hast damit gezeigt, dass das oben gegebene Integral für alle mögichen Werte $\mu,\sigma$ den Wert $\mu$ annimmt.

Answer 2

Zunächst mal langt es vermutlich wenn du in den Grenzen des 3-Sigma -Intervalls integrierst. Dann brauchst du doch nur doch Sigma und Mü einsetzen und den Taschenrechner die Arbeit machen lassen. Du sollst damit zeigen das der Erwatungswert Mü heraus kommt. Wo liegen dann konkret die Schwierigkeiten?

Answer 3

Setze σ=μ=1 und prüfe mit dem TR ob 1 herauskommt.

Setze σ=1 und μ=2 und prüfe mit dem TR ob 2 herauskommt.

Setze σ=1 und μ=3 und prüfe mit dem TR ob 3 herauskommt.

und so weiter.

Answer 4

Die Berechnung zur Normelverteilung wäre

$\phi(\mu, \sigma, x) \, := \, \int\limits_{-∞}^{x}\frac{1}{\sigma \; \sqrt{2 \; \pi }} \; ℯ^{-\frac{1}{2} \; \left(\frac{t - \mu}{\sigma} \right)^{2}}\,\mathrm{d}t$

kannst Du damit auf dem TR was anfangen?

Beispiele unter

https://www.mathelounge.de/607714/maschine-fullt-waschmittelpakete-n…