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Im Rahmen eines Schulprojektes führen Schülerinnen und Schüler unterstützt durch die Polizei eine Geschwindigkeitskontrolle durch. Auf einem 6 km langen Stück Landstraße werden nach Kilometer 1, 3 und 6 die Fahrzeiten gemessen. Die Messstrecke beginnt an einem Stoppschild. Die zulässige Höchstgeschwindigkeit auf der Landstraße beträgt 100 km/h. Ihre Messergebnisse haben die Schülerinnen und Schüler in der folgenden Tabelle festgehalten.

Messungam StoppschildMessung 1Messung 2Messung 3
Zeitpunkt t in Minuten0124
Zurückgelegter Weg s(t) in km0136

Die Funktion s(t) beschreibt den zurückgelegten Weg vom Zeitpunkt 0 bis zum Zeitpunkt t. (0 ≤ t ≤ 4). Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist v(t). Es gilt s`(t) = v(t).

a) Eine Schülergruppe hat die Messergebnisse mit einer Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades s modelliert, die den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Bestimme diese Gleichung.

(zur Kontrolle: \( s(t) = -\frac{1}{6}t^3 + t^2 + \frac{1}{6}t \)

b) Berechne die Extremstellen des Graphen von s und weise nach, dass das Maximum von s im Zeitraum der durchgeführten Geschwindigkeitsmessung bei t = 4 liegt. Interpretiere dies im Sachzusammenhang.

c) Gib die Gleichung der Geschwindigkeitsfunktion an und bestimme die maximale Geschwindigkeit.


Ich brauche Hilfe bei Aufgabe c.

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Ich denke, du hast die anderen Aufgaben schon gelöst, deswegen beschränke ich mich mal auf c.) und verwende dafür die Formel aus a.)

 

s(t) = -1/6 t3 + t2 + 1/6 t

Die Geschwindigkeitsfunktion ist die zeitliche Ableitung der Ortsfunktion, also:
v(t) = s'(t) = -1/2 t2 + 2t + 1/6

Um ihre Extrema zu finden, muss sie erneut abgeleitet werden und ihre Ableitung gleich 0 gesetzt werden:

v'(t) = -t + 2

0 = -t +2

t = 2

Es liegt also ein Extremum bei t=2 vor, wegen v''(t) = -1 handelt es sich dabei um ein Maximum.

Es hat den Wert

v(t=2) = -1/2*22+2*2 + 1/6 = 13/6 ≅ 2,17

Die Höchstgeschwindigkeit beträgt also etwa 2,17 m/s.

Beantwortet von 10 k
Einheit müsste denke ich km/min sein oder?

2,17 m/s = 7,8 km/h

2,17 km/min = 130 km/h
Oh, das ist natürlich richtig. Ich hab wie gesagt nur auf die gegebene Funktion geachtet, da ist mir die Einheit gar nicht aufgefallen :-)

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