Aloha :)
Ein Vektor, wie du ihn aus dem Unterricht kennst, enthält Komponenten. Die erste Komponente gibt an, wie weit man, ausgehend vom Startpunkt, parallel zur \(x\)-Achse gehen muss, die zweite Komponente gibt an, wie weit man parallel zur \(y\)-Achse gehen muss und die dritte Komponente gibt an, wie weit man parallel zur \(z\)-Achse gehen muss, um zum Ziel des Vektors zu kommen.$$\vec x=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)=a\cdot \vec e_x+b\cdot\vec e_y+c\cdot\vec e_z$$Die Komponenten \(a,b,c\) des Vektors alleine sind bedeutungslos ohne die Angabe eines Bezugssystems (hier die Koordinatenachsen). Dieses Bezugssystem heißt Basis. Jede Komponente des Vektors bezieht sich auf ein Basis-Element. Deswegen ist es wichtig, dass eine Basis eine geordnete Reihenfolge hat.
Mit der Basis \(B:=(x^2,x,1)\) kannst du denselben Mechanismus auf Polynome vom Grad \(\le2\) anwenden$$p(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\cdot 1=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)_{\!B}$$Beachte, dass ich neben den Vektor ein \(B\) als Index geschrieben habe. Damit zeige ich, dass sich die Komponenten des Vektors hier nicht auf die Koordinatenachsen eines euklidischen Koordinatensystems als Standardbasis beziehen, sondern auf die Basis \(B\) von oben.
In der Aufgabe sollst du zeigen, dass diese Vektoren zur Basis \(B\) über dem Körper der reellen Zahlen einen Vektorraum bilen, dass du damit also genauso rechnen kannst, wie mit den dir bekannten geometrischen Vektoren.
Zum besseren Verständnis prüfen die Axiome gemeinsam durch. Dazu betrachten wir die Polynome:$$p(x)=a_p\,x^2+b_p\,x+c_p$$$$q(x)=a_q\,x^2+b_q\,x+c_q$$$$r(x)=a_r\,x^2+b_r\,x+c_r$$
1) Abgeschlossenheit bzgl. Addition
Wir zeigen, dass die Summe von 2 Polynomen vom Grad 2 wieder ein Polynom vom Grad 2 ist:$$p(x)+q(x)=a_p\,x^2+b_p\,x+c_p\;+\;a_q\,x^2+b_q\,x+c_q$$$$\phantom{p(x)+q(x)}=(a_p+a_q)\,x^2+(b_p+b_q)\,x+(c_p+c_q)$$$$\phantom{p(x)+q(x)}=(p+q)(x)\quad\checkmark$$Dasselbe können wir mit 2 Vektoren zur Polynom-Basis \(B\) kürzer schreibent:$$\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}a_q\\b_q\\c_q\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_p+a_q\\b_p+b_q\\c_p+c_q\end{array}\right)_{\!B}$$Mit dieser Vektorschreibweise sind die übrigen Bedingungen schnell geprüft.
2) Assoziativgesetz:$$\left[\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}a_q\\b_q\\c_q\end{array}\right)_{\!B}\right]+\left(\begin{array}{c}a_r\\b_r\\c_r\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_p+a_q\\b_p+b_q\\c_p+c_q\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}a_r\\b_r\\c_r\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_p+a_q+a_r\\b_p+b_q+b_r\\c_p+c_q+c_r\end{array}\right)_{\!B}$$$$=\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}a_q+a_r\\b_q+b_r\\c_q+c_r\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}+\left[\left(\begin{array}{c}a_q\\b_q\\c_q\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}a_r\\b_r\\c_r\end{array}\right)_{\!B}\right]$$
3) Existenz eines neutralen Elements:$$\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_p+0\\b_p+0\\c_p+0\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}$$$$\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}0+a_p\\0+b_p\\0+c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}$$
4) Existenz eines inversen Elements:$$\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}-a_p\\-b_p\\-c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_p+(-a_p)\\b_p+(-b_p)\\c_p+(-c_p)\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)_{\!B}$$$$\left(\begin{array}{c}-a_p\\-b_p\\-c_p\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}(-a_p)+a_p\\(-b_p)+b_p\\(-c_p)+c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)_{\!B}$$
5) Kommutativgesetz:$$\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}a_q\\b_q\\c_q\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_p+a_q\\b_p+b_q\\c_p+c_q\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_q+a_p\\b_q+b_p\\c_q+c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_q\\b_q\\c_q\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}$$
6) Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation:
Wir müssen zeigen, dass ein Polynom 2-ten Grades weiterhin ein Polynom 2-ten Grades bleibt, wenn wir es mit einer Konstanten \(\lambda\in\mathbb{R}\) multiplizieren:$$\lambda\cdot p(x)=\lambda\cdot(a_p\,x^2+b_p\,x+c_p)=\lambda\,a_p\,x^2+\lambda\,b_p\,x+\,\lambda c_p=(\lambda\,p)(x)$$Dasselbe können wir mit einem Vektor zur Polynom-Basis \(B\) kürzer schreibent:$$\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}\lambda\,a_p\\\lambda\,b_p\\\lambda\, a_p\end{array}\right)_{\!B}$$
7) Distributivgesetz 1:$$\lambda\cdot\left[\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}a_q\\b_q\\c_q\end{array}\right)_{\!B}\right]=\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}a_p+a_q\\b_p+b_q\\c_p+c_q\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}\lambda\,(a_p+a_q)\\\lambda\,(b_p+b_q)\\\lambda\,(c_p+c_q)\end{array}\right)_{\!B}$$$$=\left(\begin{array}{c}\lambda\,a_p+\lambda\,a_q\\\lambda\,b_p+\lambda\,b_q\\\lambda\,c_p+\lambda\,c_q\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}\lambda\,a_p\\\lambda\,b_p\\\lambda\,c_p\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}\lambda\,a_q\\\lambda\,b_q\\\lambda\,c_q\end{array}\right)_{\!B}=\lambda\,\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}+\lambda\,\left(\begin{array}{c}a_q\\b_q\\c_q\end{array}\right)_{\!B}$$
8) Distributivgesetz 2:$$(\lambda+\mu)\cdot\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}(\lambda+\mu)\,a_p\\(\lambda+\mu)\,b_p\\(\lambda+\mu)\,c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}\lambda\,a_p+\mu\,a_p\\\lambda\,b_p+\mu\,b_p\\\lambda\,c_p+\mu\,c_p\end{array}\right)_{\!B}$$$$=\left(\begin{array}{c}\lambda\,a_p\\\lambda\,b_p\\\lambda\,c_p\end{array}\right)_{\!B}+\left(\begin{array}{c}\mu\,a_p\\\mu\,b_p\\\mu\,c_p\end{array}\right)_{\!B}=\lambda\,\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}+\mu\,\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}$$
9) Hintereinanderausführung der Skalarmultiplikation:$$(\lambda\cdot\mu)\cdot\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}(\lambda\cdot\mu)a_p\\(\lambda\cdot\mu)b_p\\(\lambda\cdot\mu)c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}\lambda\cdot(\mu\,a_p)\\\lambda\cdot(\mu\,b_p)\\\lambda\cdot(\mu\,c_p)\end{array}\right)_{\!B}=\lambda\left(\begin{array}{c}\mu\,a_p\\\mu\,b_p\\\mu\,c_p\end{array}\right)_{\!B}=\lambda\left[\mu\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}\right]$$
10 Neutralität des 1-Elements:$$1\cdot=\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}1\cdot a_p\\1\cdot b_p\\1\cdot c_p\end{array}\right)_{\!B}=\left(\begin{array}{c}a_p\\b_p\\c_p\end{array}\right)_{\!B}$$Puh, das wars. Wenn du noch Fragen hast, melde dich bitte einfach nochmal.
