Aufgabe:
Bestimmen Sie k ∈ ℝ so, dass der Graph der Funktion f mit der x-Achse eine Fläche vom angegebenen Flächeninhalt A einschließt. Erläutern Sie anhand einer Skizze den Einfluss des Parameters k.
a) f(x)=-x 2+k ; A=36
Problem/Ansatz:
Ich habe -x 2+k gleich null gesetzt. Dabei habe ich √k und -√k rausbekommen. Nun habe ich das Integral von -√k bis √k berechnet und 0 als Ergebnis bekommen.
Wo liegt mein Fehler?
In der Rechnung (die du nicht mitgeteilt hast) ist vermutlich ein Vorzeichenfehler. Außerdem ist bereits der Ansatz falsch.
Hallo,
kann es sein, dass du bei der Rechnung F(k)F(\sqrt{k})F(k) minus F(−k)F(-\sqrt{k})F(−k) die Vorzeichen in der 2. Klammer nicht gändert hast? Das Ergebnis ist k = 9
Gruß, Silvia
Ah ja stimmt, danke!
Wie komme ich denn von -1/3*√k3+k*√k-(-1/3*-√k3+k*-√k) zu dem Ergebnis 9?
Wie kann man das per Hand lösen? Der Parameter k verwirrt mich
Selbst wenn ich das mit unserem Taschenrechner TI-84 Plus berechnen lasse, kommt da 0 raus. Aber ich glaube der kann das auch nicht.
Behandle k wie ein x, das du aus anderen Gleichungen kennst:
F(k)=−13k3+k⋅k=−13k⋅k+k⋅k=23kkF(−k)=−13(−k)3+k⋅(k)=13k⋅k−k⋅k=−23kk23kk−(−23kk)=43kk43kk=36kk=27k3=729k=9F(\sqrt{k})=-\frac{1}{3}\sqrt{k}^3+k\cdot \sqrt{k}=-\frac{1}{3}k\cdot \sqrt{k}+k\cdot \sqrt{k}=\frac{2}{3}k\sqrt{k}\\ F(-\sqrt{k})=-\frac{1}{3}(-\sqrt{k})^3+k\cdot (\sqrt{k})=\frac{1}{3}k\cdot \sqrt{k}-k\cdot\sqrt{k}=-\frac{2}{3}k\sqrt{k}\\ \frac{2}{3}k\sqrt{k}-(-\frac{2}{3}k\sqrt{}k)=\frac{4}{3}k\sqrt{k}\\ \frac{4}{3}k\sqrt{k}=36\\ k\sqrt{k}=27\\ k^3=729\\k=9F(k)=−31k3+k⋅k=−31k⋅k+k⋅k=32kkF(−k)=−31(−k)3+k⋅(k)=31k⋅k−k⋅k=−32kk32kk−(−32kk)=34kk34kk=36kk=27k3=729k=9
Ah danke! Ich verstehe es langsam..
Wie kommst du denn von -13 \frac{1}{3} 31k*k \sqrt{k} k+k*k \sqrt{k} k auf 23 \frac{2}{3} 32kk \sqrt{k} k?
Wenn man das umformt kommt man doch zunächst auf -13 \frac{1}{3} 31*k12 k^{\frac{1}{2}} k21+k*k12 k^{\frac{1}{2}} k21 richtig?
Und wie kommst du von kk \sqrt{k} k auf k3 k^{3} k3?
1. Frage:
Stell dir vor k⋅k=yk\cdot\sqrt{k}=yk⋅k=y. Dann hättest du −13y+1y=23y-\frac{1}{3}y+1y=\frac{2}{3}y−31y+1y=32y
2. Frage
kk=27∣2k2k2=729k2⋅k=k3=729k\sqrt{k}=27\quad |^2\\ k^2\sqrt{k}^2=729\\ k^2\cdot k=k^3=729kk=27∣2k2k2=729k2⋅k=k3=729
Hier ein möglicher Lösungsweg mit einem TI-Nspire CX:
Möglicher Anfang einer händischen Rechnung bei Ausnutzung der Symmetrie: ∫k−k(k−x2) dx=36∫0k(k−x2) dx=18[kx−13⋅x3]0k=18[x⋅(k−13⋅x2)]0k=18k⋅(k−13⋅k)=1823⋅k⋅k=18…\int_{\sqrt{k}}^{-\sqrt{k}}\left(k-x^2\right)\text{ d}x=36 \\[2em] \int_{0}^{\sqrt{k}}\left(k-x^2\right)\text{ d}x=18 \\[2em] \Bigl[kx-\dfrac 13\cdot x^3\Bigr]_{0}^{\sqrt{k}}=18 \\[2em] \Bigl[x\cdot\left(k-\dfrac 13\cdot x^2\right)\Bigr]_{0}^{\sqrt{k}}=18 \\[2em] \sqrt{k}\cdot\left(k-\dfrac 13\cdot k\right)=18 \\[2em] \dfrac 23\cdot k\cdot\sqrt{k}=18 \\[2em]\dots∫k−k(k−x2) dx=36∫0k(k−x2) dx=18[kx−31⋅x3]0k=18[x⋅(k−31⋅x2)]0k=18k⋅(k−31⋅k)=1832⋅k⋅k=18…
-1/3x3+kx in den Grenzen von -√k bis √k ist 4/3k3/2.
4/3k3/2=36 |·3/4
k3/2=27 |dritte Wurzel
k1/2=3 |( )2
k=9.
Vielen Dank!
Wie hast du denn das Ergebnis des Integrals berechnet?
Ich bleibe bei -1/3*√k3+k*√k-(-1/3*-√k3+k*-√k) stecken. Und wir müssen das ohne Taschenrechner rechnen.
Die Grenzen in das Unbestimmte Integral einsetzen. Obere Grenze eingesetzt minus untere Grenze eingesetzt.
In der Stammfunktion muss es kx statt k heißen!
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos
