Steckbriefaufgabe: Graph ist zur y-Achse symmetrisch usw.

Question

Aufgabe:

Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch, hat einen Tiefpunkt auf der x-Achse und an der Stelle x=1 einen Wendepunkt.

Problem/Ansatz:

Wie lauten die Lösungsgleichungen dafür?

Comments

Hallo Josefine

Sollte

Wie lauten die Lösungsgleichungen dafür?

exakt stimmen, musst du mehrere Lösungen angeben. Daher der Parameter a in der Antwort. Nun aber: Sollte nirgends etwas zum Grad der gesuchten Polynome stehen, gibt es sehr viel mehr "Lösungsgleichen". Willst du die Frage nochmals präzisieren?

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@TR: Ich verstehe das so, dass der Frager die Bedingungsgleichungen, die zu der oder den Lösungen führen, sucht.

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Danke für die Erklärung.

Nun weiss auch Josefine, welche Fragestellung ihr beantworten wolltet.

Warum unterschlägst du Lösungen von höherem Grad?

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Woher weiß man eigentlich, dass es sich um ein Polynom handelt?

Und wenn man vermutet, dass ein solches gemeint ist da wohl Schulaufgabe - die Formulierung ‚hat einen Tiefpunkt auf der x-Achse‘ bedeutet nicht, dass es nur einen Tiefpunkt gibt.

Answer 1

Die beiden Informationen "Symmetrie zur y-Achse" und "Wendepunkt vorhanden" führt auf den Ansatz $$f(x)=ax^4+cx^2+e$$Da es nur einen Tiefpunkt geben soll und dieser zudem auf der x-Achse liegen soll, muss dieser Tiefpunkt wegen der Achsensymmetrie im Ursprung \((0\vert 0)\) liegen. Daher kann der Ansatz zu $$f(x)=ax^4+cx^2$$ mit \(a<0\) vereinfacht werden. Dieser muss den Bedingung$$f''(1)=0$$ genügen.

Answer 2

Tiefpunkt auf der x-Achse bedeutet, es existiert ein doppelte Nullstelle. Ansatz:

f(x)=x·(ax-b)²

f ''(x)=2a·(3ax-2b)

Wegen WP bei x=1 folgt 0=2a·(3a-2b).

Dann ist entweder a=0 (entfällt) oder 3a-2b=0 und b=3/2a

f_a(x)=x(ax -3/2a)².

Comments

@Roland

Dein Vorschlag ist nicht achsensymmetrisch.

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Ja danke, das hatte ich nicht bedacht.

Answer 3

Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch, hat einen Tiefpunkt auf der x-Achse und an der Stelle x=1 einen Wendepunkt.

Symmetrie → Nur gerade Exponenten von x, z.B. \(f(x)=ax^6+bx^4+cx^2+d\). Ob der Grad 6 oder 4 ist, hängt von der Anzahl der Bedingungen ab.

Tiefpunkt auf der x-Achse → \(f(x_0)=0 ; f'(x_0)=0 ; f''(x_0)<0\)

Wendepunkt bei x=1 → \(f''(1)=0=30a+12b+2c\)

Eine Möglichkeit wäre \(f\left(x\right)=-0.5x^{4}+3x^{2}\)

Answer 4

Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch, hat einen Tiefpunkt auf der x-Achse und an der Stelle \(x=1\) einen Wendepunkt.

Ich wähle die Nullstellenform des Polynoms 4. Grades.

Da der Extremwert auf der x-Achse liegt ist dort eine doppelte Nullstelle. Es gibt nur einen Tiefpunkt :T\((0|0)\)

Wegen der Symmetrie gilt nun :

\(f(x)=ax^2(x-N)(x+N)=ax^2(x^2-N^2)=a(x^4- N^2x^2)\)

...und an der Stelle \(x=1\) einen Wendepunkt:

\(f'(x)=a(4x^3- 2N^2x)\)

\(f''(x)=a(12x^2- 2N^2)\)

\(f''(1)=a(12- 2N^2)=0\)

\(12- 2N^2=0\)

\(N^2=6\)

\(f(x)=a(x^4- 6x^2)\)

Wegen des Tiefpunktes T\((0|0)\) muss z. B. ein Punkt P an der Stelle \(x=2\) einen positiven y-Wert haben:

\(f(2)=-8a>0\)    → \( a<0\)

Comments

Woher weißt Du eigentlich, das es sich um ein Polynom handelt?

Das frage ich mich bei so Aufgaben manchmal auch.

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Wieso wird hier mein Kommentar ausgeblendet? Wenn Dir etwas nicht paßt wird zensiert?

@döschwo: das war mir klar, Du warst nicht gemeint

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Das war nicht döschwo, sondern ich.

Und ja, mir passen Kommentare nicht die unnötig provizieren.

Die Aufgabe ist offensichtlich dem Schulkontext zuzuordnen und als "Steckbriefaufgabe" tituliert. Zudem fallen übliche Schlagworte wie "Wendepunkt, Tiefpunkt und symmetrisch".

NATÜRLICH findet man daran etwas zu bemängeln - wie nicht-exakt die Aufgabe ist. Aber das 5 Jahre später anzumerken (und nur bei Moliets) ist einfach unnötig.

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Es wurde angemerkt, weil die Aufgabe aktuell hervorgeholt wurde, außerdem ist sie in keiner weise provozierend.

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Finde ich jetzt überhaupt nicht provozierend. Zum "Schulkontext": Es begab sich vor geraumer Zeit, an einer Lehranstalt in der Nordwestschweiz, dass ein Mathelehrer einmal unsorgfältig eine Aufgabe ziemlich genau wie diese als Hausaufgabe stellte, worauf ein Insasse, der Name soll hier ungenannt bleiben, eine Lösung abgab ziemlich genau wie auf meiner Graphik. Der Mathelehrer trug es mit Würde, wenngleich er noch wochenlang dann immer betonte "eine Polynomfunktion" wenn er eine Funktion von jener Schulklasse haben wollte, mit zweideutigem Blick in die Richtung besagten Zöglings ... unnötig fand er die abgebene Sinusfunktion aber überhaupt nicht.

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Die Aufgabe ist offensichtlich dem Schulkontext zuzuordnen und als "Steckbriefaufgabe" tituliert.

Das sehe ich genau so und daher ist die herangehensweise von Moliets auch nicht im Sinne einer Steckbriefaufgabe und hätte auch schon gelöscht werden können.

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Das sehe ich genau so und daher ist die herangehensweise von Moliets auch nicht im Sinne einer Steckbriefaufgabe

Wie schräg bist du denn unterwegs?

Wenn einer meiner Schüler den (hier sehr logischen) Ansatz

\(f(x)=ax^2(x-N)(x+N)\)

gebracht hätte, wäre ich stolz auf meine Arbeit gewesen.

Du kannst wohl nur 08-15?

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daher ist die herangehensweise von Moliets auch nicht im Sinne einer Steckbriefaufgabe und hätte auch schon gelöscht werden können.

Und das ist meiner Meinung nach um einiges provokanter als die von user26605 gestellte Frage, die durchaus ihre Berechtigung hat.

Achja, MC darf hier alles...

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Ich weiß, was im Lehrbuch zu Steckbriefaufgaben steht, und dass aufgegebene Aufgaben vor allem dazu dienen, das allgemeine Verfahren einzuüben. Nicht ohne Grund spricht man bei diesem Typ Aufgaben auch von einer "inversen Kurvendiskussion".

Wenn Schüler das Standardverfahren sicher beherrschen, spricht nichts dagegen, andere Ansätze auszuprobieren oder mithilfe verschiedener Funktionstypen zu modellieren. Für die meisten – sicher 95 % – ist es jedoch sinnvoll, zunächst beim klassischen Vorgehen zu bleiben. Gerade für Lernende, die mit solchen Aufgaben Schwierigkeiten haben und hier Hilfe suchen, halte ich es nicht für angebracht, sie durch alternative Verfahren zusätzlich zu verwirren.

Mir ist allerdings bewusst, dass es einige gibt, die bewusst für Unruhe sorgen möchten. Warum muss ich jetzt nur an Russland denken.

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Warum muss ich jetzt nur an Russland denken.

Nehmt die Füße hoch - das Niveau will durch.

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Die Unruhe kam dadurch, dass man der Meinung ist, Beiträge als "löschenswert" zu bezeichnen, obwohl sie genauso eine Daseinsberechtigung haben... Würde man so etwas bei deinen Antworten tun, wäre man wieder der Böse...

Gerade für Lernende, die mit solchen Aufgaben Schwierigkeiten haben und hier Hilfe suchen, halte ich es nicht für angebracht, sie durch alternative Verfahren zusätzlich zu verwirren.

Dazu gerne eine Parallele: Gerade für Lernende, die mit solchen Aufgaben Schwierigkeiten haben und hier Hilfe suchen, halte ich es nicht für angebracht, sie durch Musterlösungen oder Kontrolllösungen vom Denken abzuhalten und eben genau jene Hilfe zu verweigern.

Und da wir es schon von Provokation hatten: Die Aussage bzgl. Russland ist nicht provokant?

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Hast du was anderes erwartet? Aus einem Stück Kochfleisch kann man kein Rumpsteak machen.