Koordinaten des Brennpunktes bei Parabeln berechnen

Question

Aufgabe:

Eine Parabel ist durch die Parabel

par: y²= 10x   gegeben.

Bestimme die Koordinaten des Brennpunktes.

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich diese?

Comments

Bei einer Parabel y = ax²+bx+c ist die y-Koordinate des Brennpunkts gleich der y-Koordinate des Scheitelpunkts + 1/(4a).

Herleitung unter https://www.mathelounge.de/696157/parabelgleichung-brennpunkt#c69624…

Hier ist es eine um 90° gedrehte Parabel.

Answer 1

Hallo,

wenn man weis, dass der Brennpunkt $1/(4a)$ vom Scheitelpunkt einer Parabel entfernt ist, wenn $a$ der Faktor vor dem Quadrat ist, so ist es einfach$$y^2 = 10 x \implies \frac 1{10} y^2 = x$$also ist $a=\frac 1{10}$ und der Brennpunkt legt bei $(2,5|0)$

Plotlux öffnen

f₁(x) = √(10x)P(2,5|0)Zoom: x(-2…16) y(-2…11)f₂(x) = (x>2,5)·5P(2,5|5)f₃(x) = x+2,5

oder man überlegt sich, was 'Brennpunkt' bedeutet. Jeder waagerecht einfallende Strahl, der von der Funktion 'reflektiert' wird, geht durch den Brennpunkt. Also gilt das auch für den Strahl, der bei der Steigung $y'=1$ einfällt (rot s. Plot). Und dieser Strahl wird senkrecht nach unten reflektiert und gibt damit hier die x-Position $x_f$ des Brennpunkts an.

Es ist $$\begin{aligned} y &= \sqrt{10 x} \\ y' &= \frac { \sqrt{10}}{2\sqrt x} \to \space =1 \text{ für } x=x_f\\ \implies x_f &= \left( \frac{\sqrt{10}}{2}\right) ^2 = 2,5 \end{aligned}$$Gruß Werner

PS.: es ist hier nicht notwendig, die Gleichung nach $y= \dots$ umzustellen. Ableiten von $y^2 = 10x$ nach $x$ gibt mit Kettenregel $2yy' = 10$. Einsetzen von $y'=1$ führt zu $y=5$ und anschließendes Einsetzen in die Ausgangsgleichung dann zu $x=2,5$. Aber das nur am Rande ...