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Aufgabe:

Unter welchem Winkel Alpha muss eine Seitenkante einer quadratischen Pyramide mit der Länge s zur Grundfläche geneigt sein, damit das Volumen der Pyramide möglichst groß ist?



Problem/Ansatz:

Könntet ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Es sollen ca. 35,26 Grad herauskommen...

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Die Aufgabenstellung ist vermutlich unvollständig.

Die Aufgabenstellung ist vermutlich unvollständig.

Nein - obwohl im ersten Moment hatte ich auch diesen Gedanken ;-)

\(s\) die Seitenkante der Pyramide - ist gegeben und damit fest. Der optimale Winkel ist \(\arcsin\left( \frac 13 \sqrt 3 \right) \approx 35,26°\) und \(a=2h\)

@Werner: Du hast - wie immer - recht.

Du hast - wie immer - recht.

immer recht zu haben kann einen aber auch ziemlich unbeliebt machen ;-)

Ich habe das richtige Ergebnis auch heraus
und wäre bereit dies auf Wunsch vorzuführen.
Meine Lösung ist allerdings (etwas) umfangreich.

mfg Georg

Denke daran
Du sollst Vater und Mutter ehren als ob Sie deine Eltern wären ( Otto ).

Hallo, lieben Dank für eure Kommentare... Aber wie kommt man auf das Ergebnis?


Die Aufgabe ist nicht unvollständig...

Das dazugehörige Bild wäre Folgendes:


blob.jpeg

Text erkannt:

\( \underbrace{\left|\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \\ 1\end{array}\right|}_{1}^{1}\left|\begin{array}{l}_{5} \\ -1 \\ 1\end{array}\right| \)

Ja bitte @georgborn, das wäre super...

Das wäre das zugehörige Bild!

blob.jpeg

Text erkannt:

\( \underbrace{\left|\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \\ 1\end{array}\right|}_{1}^{1}\left|\begin{array}{l}_{5} \\ -1 \\ 1\end{array}\right| \)

könntet ihr mir bitte eure Ergebnisse detaillierter vorführen (Rechenwege)?


..

3 Antworten

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Hat die Pyramide die Grundseitenlänge a und die Höhe h, dann ist das Dreieck (ein Eckpunkt, Mittelpunkt der Grundfläche, Spitze der Pyramide) rechtwinklig mit den Seitenlängen s, h und \( \frac{\sqrt{2}}{2} a\).

Weil s "gegeben" ist, kannst du a (und somit auch die Grundfläche a²) in Abhängigkeit von h ausdrücken und das Volumen in Abhängigkeit von h maximieren.

Wenn du die Höhe mit dem maximalen Volumen hast, hast du auch die zugehörige Kantenlänge a.


Für den gesuchten Neigungswinkel gilt tan α = h : (\( \frac{\sqrt{2}}{2} a)\).

Avatar von 53 k 🚀
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Hallo,

anbei die ausführliche Rechnung:Das Volumen der quadratischen Pyramide mit Höhe \(h\) und Grundseite \(a\) ist$$V = \frac 13 a^2h $$ Die Diagonale der Grundfläche sei \(d\). \(\frac d2\), \(h\) und \(a\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck, für das gilt$$h^2 + \left( \frac d2 \right)^2 = s^2 \implies h^2 + \frac{a^2}2 = s^2\\ \implies a^2 = 2(s^2 - h^2) $$das setze in die Volumengleichung ein $$\begin{aligned}V &= \frac 23 (s^2 - h^2)h \\&= \frac23 s^2 h - \frac 23 h^3 \end{aligned}$$und leite nach \(h\) ab, und setze die Ableitung zu 0$$\begin{aligned}V' = \frac 23 s^2 - 2h^2 &= 0 && \left| +2h^2\right.\\  \frac 23 s^2 &= 2h^2 && \left| \div 2 \right.\\ \frac 13 s^2 &= h^2 && \left| \sqrt \space \right.\\ h &= \frac 13 \sqrt 3\, s \end{aligned}$$der Sinus des gesuchten Winkels \(\alpha\) ist$$ \sin(\alpha) = \frac{h}{s}\\ \implies \alpha = \arcsin\left( \frac hs \right) = \arcsin\left(  \frac 13 \sqrt 3 \right) \approx 35,26° $$

Avatar von 48 k

Wow vielen vielen Dank Hab’s voll gut verstanden!!!

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Ich hatte mir schon eine Skizze gemacht.
Dies ist ein Schnitt durch die Pyramide.
Es liegt der Pythagoras vor

gm-138.jpg


d für die Diagonale der Grundfläche.

 Wenn verstanden dann geht es weiter.

Avatar von 122 k 🚀

Super vielen Dank, hab’s schon raus!!!


Danke nochmal!

ich hatte mir schon eine Skizze gemacht.

Hallo Georg,

mach doch mal 'ne Skizze im Geoknecht3D

Skizze3.png

ist doch viel schöner (klick auf das Bild)

Hier die Draufsicht

gm.138-a.jpg

Wir haben jetzt die Variablen s, h, d

Die Volumenformel der Pyramide ist
V = 1/3 * A * h
V = 1/3 * ( d^2/2 ) * h
Von oben
(d / 2 ) ^2 + h^2 = s^2
d^2 / 4 = s^2 - h^2  | * 2
d^2 / 2 = 2 *s^2 - 2 *h^2

V ( h ) = 1/3 * ( 2 * s^2 - 2*h^2 ) * h
1.Ableitung nach h
V ´( h ) = 2 * s^2/3 - h^2 / 2
Extremwert
2 * s^2/3 - h^2 / 2 = 0
2 * s^2/3 = h^2 / 2
s^2 / 3 = h^2   | √
h = s / √ 3

sin (α) = h / s
sin (α) = ( s / √3 ) / s
sin (α) = 1 / √3 )
sin (α) = 0.5774
α = arcsin ( 0.5774 )
α = 35.26 °

Hallo Werner,

die Schönheit deiner Skizze ist tatsächlich
nur vergleichbar mit der Schönheit der
Aphrodite.
Ich ( 66 Jahre ), der morgen schon tot im
Bette liegen kann, will Geoknecht3D
nicht mehr erlernen.

mfg Georg

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