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Aufgabe:

Unter welchem Winkel Alpha muss eine Seitenkante einer quadratischen Pyramide mit der LĂ€nge s zur GrundflĂ€che geneigt sein, damit das Volumen der Pyramide möglichst groß ist?



Problem/Ansatz:

Könntet ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Es sollen ca. 35,26 Grad herauskommen...

von

Die Aufgabenstellung ist vermutlich unvollstÀndig.

Die Aufgabenstellung ist vermutlich unvollstÀndig.

Nein - obwohl im ersten Moment hatte ich auch diesen Gedanken ;-)

\(s\) die Seitenkante der Pyramide - ist gegeben und damit fest. Der optimale Winkel ist \(\arcsin\left( \frac 13 \sqrt 3 \right) \approx 35,26°\) und \(a=2h\)

@Werner: Du hast - wie immer - recht.

Du hast - wie immer - recht.

immer recht zu haben kann einen aber auch ziemlich unbeliebt machen ;-)

Ich habe das richtige Ergebnis auch heraus
und wĂ€re bereit dies auf Wunsch vorzufĂŒhren.
Meine Lösung ist allerdings (etwas) umfangreich.

mfg Georg

Denke daran
Du sollst Vater und Mutter ehren als ob Sie deine Eltern wÀren ( Otto ).

Hallo, lieben Dank fĂŒr eure Kommentare... Aber wie kommt man auf das Ergebnis?


Die Aufgabe ist nicht unvollstÀndig...

Das dazugehörige Bild wÀre Folgendes:


blob.jpeg

Text erkannt:

\( \underbrace{\left|\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \\ 1\end{array}\right|}_{1}^{1}\left|\begin{array}{l}_{5} \\ -1 \\ 1\end{array}\right| \)

Ja bitte @georgborn, das wÀre super...

Das wÀre das zugehörige Bild!

blob.jpeg

Text erkannt:

\( \underbrace{\left|\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \\ 1\end{array}\right|}_{1}^{1}\left|\begin{array}{l}_{5} \\ -1 \\ 1\end{array}\right| \)

könntet ihr mir bitte eure Ergebnisse detaillierter vorfĂŒhren (Rechenwege)?


WĂ€re sehr dankbar...

3 Antworten

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Hat die Pyramide die GrundseitenlĂ€nge a und die Höhe h, dann ist das Dreieck (ein Eckpunkt, Mittelpunkt der GrundflĂ€che, Spitze der Pyramide) rechtwinklig mit den SeitenlĂ€ngen s, h und \( \frac{\sqrt{2}}{2} a\).

Weil s "gegeben" ist, kannst du a (und somit auch die GrundflĂ€che aÂČ) in AbhĂ€ngigkeit von h ausdrĂŒcken und das Volumen in AbhĂ€ngigkeit von h maximieren.

Wenn du die Höhe mit dem maximalen Volumen hast, hast du auch die zugehörige KantenlÀnge a.


FĂŒr den gesuchten Neigungswinkel gilt tan Î± = h : (\( \frac{\sqrt{2}}{2} a)\).

von 17 k
0 Daumen

Hallo,

anbei die ausfĂŒhrliche Rechnung:Das Volumen der quadratischen Pyramide mit Höhe \(h\) und Grundseite \(a\) ist$$V = \frac 13 a^2h $$ Die Diagonale der GrundflĂ€che sei \(d\). \(\frac d2\), \(h\) und \(a\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck, fĂŒr das gilt$$h^2 + \left( \frac d2 \right)^2 = s^2 \implies h^2 + \frac{a^2}2 = s^2\\ \implies a^2 = 2(s^2 - h^2) $$das setze in die Volumengleichung ein $$\begin{align}V &= \frac 23 (s^2 - h^2)h \\&= \frac23 s^2 h - \frac 23 h^3 \end{align}$$und leite nach \(h\) ab, und setze die Ableitung zu 0$$\begin{align}V' = \frac 23 s^2 - 2h^2 &= 0 && \left| +2h^2\right.\\  \frac 23 s^2 &= 2h^2 && \left| \div 2 \right.\\ \frac 13 s^2 &= h^2 && \left| \sqrt \space \right.\\ h &= \frac 13 \sqrt 3\, s \end{align}$$der Sinus des gesuchten Winkels \(\alpha\) ist$$ \sin(\alpha) = \frac{h}{s}\\ \implies \alpha = \arcsin\left( \frac hs \right) = \arcsin\left(  \frac 13 \sqrt 3 \right) \approx 35,26° $$

von 27 k

Wow vielen vielen Dank Hab’s voll gut verstanden!!!

0 Daumen

Ich hatte mir schon eine Skizze gemacht.
Dies ist ein Schnitt durch die Pyramide.
Es liegt der Pythagoras vor

gm-138.jpg


d fĂŒr die Diagonale der GrundflĂ€che.

 Wenn verstanden dann geht es weiter.

von 99 k 🚀

Super vielen Dank, hab’s schon raus!!!


Danke nochmal!

ich hatte mir schon eine Skizze gemacht.

Hallo Georg,

mach doch mal 'ne Skizze im Geoknecht3D

Skizze3.png

ist doch viel schöner (klick auf das Bild)

Hier die Draufsicht

gm.138-a.jpg

Wir haben jetzt die Variablen s, h, d

Die Volumenformel der Pyramide ist
V = 1/3 * A * h
V = 1/3 * ( d^2/2 ) * h
Von oben
(d / 2 ) ^2 + h^2 = s^2
d^2 / 4 = s^2 - h^2  | * 2
d^2 / 2 = 2 *s^2 - 2 *h^2

V ( h ) = 1/3 * ( 2 * s^2 - 2*h^2 ) * h
1.Ableitung nach h
V ÂŽ( h ) = 2 * s^2/3 - h^2 / 2
Extremwert
2 * s^2/3 - h^2 / 2 = 0
2 * s^2/3 = h^2 / 2
s^2 / 3 = h^2   | √
h = s / √ 3

sin (α) = h / s
sin (α) = ( s / √3 ) / s
sin (α) = 1 / √3 )
sin (α) = 0.5774
α = arcsin ( 0.5774 )
α = 35.26 °

Hallo Werner,

die Schönheit deiner Skizze ist tatsÀchlich
nur vergleichbar mit der Schönheit der
Aphrodite.
Ich ( 66 Jahre ), der morgen schon tot im
Bette liegen kann, will Geoknecht3D
nicht mehr erlernen.

mfg Georg

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