Rekonstruktion bei einer Funktion 5. Grades

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion 5. Grades, welche punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft und einen Berührpunkt mit der Funktion t(x) = 2x-4 im Punkt (1/-2) hat, besitzt eine Wendestelle in x = -2.

Stelle alle erforderlichen Ansätze und Gleichungen zur Bestimmung der Funktiosgleichung auf. Das Gleichungssystem muss nicht gelöst werden.

Problem/Ansatz:

Die allgemeine Formel für eine Funktion 5.Grades wäre ja: f(x)= ax⁵+bx⁴ + cx³+dx²+ex+f

Ich verstehe (glaube ich) wie man die Bedingung zum Wendepunkt aufstellt.

f''(- 2)= 0

f(- 2)= 0

Mir ist aber nicht klar, wo ich noch andere Bedingungen ableiten kann und wie es bei Berührstellen funktionieren soll.

Answer 1

Hallo,

der Schlüssel liegt in 'punktsymmetrisch zum Ursprung'. Für eine solche Funktion muss doch gelten $$f(x) = -f(-x)$$Und das geht bei Polynome nur für diejenigen, die nur aus Potenzen mit ungeraden Exponenten bestehen. Damit reduziert sich die Funktion auf $$f(x) = ax^5 + c x^3 + ex$$bleiben drei Koeffizienten $a$, $c$ und $e$ mit den drei Bedingungen $$\begin{aligned} f(1) &= -2 && \left|\, (1;\, -2)\right.\\ f'(1) &= t'(1) = 2 \\ f''(-2) &= 0 && \left| \text{Wendestelle}\right.\end{aligned}$$Damit kann man dann folgendes Gleichungssystem aufstellen:$$\begin{pmatrix}1& 1& 1\\ 5& 3& 1\\ -160& -12& 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\\c\\ e\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 0\end{pmatrix}$$und die Lösung ist$$f(x)= \frac{-3}{17} x^5 + \frac{40}{17}x^3 - \frac{71}{17}x$$Der Plot zeigt das nochmal

Plotlux öffnen

f₁(x) = (-3x⁵+40x³-71x)/17P(1|-2)f₂(x) = 2x-4Zoom: x(-6…6) y(-12…12)P(-2|-82/17)f₃(x) = (169(x+2)-82)/17

Comments

Wie verzweifelt muss man sein und nach Anerkennung heischen, wenn man jemandem, der schon zwei äußerst hilfreiche Antworten für eine eigenständige Weiterarbeit bekommen hat (und noch nicht darauf reagiert hat), ohne Not eine Fertiglösung hinterher wirft?

Werner, wir mögen dich auch so!

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Lieber Abakus, Ich finde es sehr gut, dass er eine Komplettlösung gegeben hat. Ich bin nicht so dumm und schreibe die Ergebnisse blind ab. Ich rechne selbst und kann mit Hilfe der Lösung schauen ob ich es richtig hab

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.. der schon zwei äußerst hilfreiche Antworten für eine eigenständige Weiterarbeit bekommen hat

Hi Abakus,

Du scheinst es noch nicht mitbekommen zu haben, dass es einem Antwortgeber nicht möglich ist, zu erkennen, dass schon andere ebenso an einer Antwort arbeiten. Ich hatte dazu bereits mal die Bitte formuliert, es wurde aber abgelehnt. Als ich meine Antwort hier abschickte, war es jedenfalls die einzige. Ich kann auch gerne mal einen Bildschirmabzug machen, wenn Dich das beruhigt.

Lies dies hier.

Und zum Thema 'Komplettlösung' lies meinen letzten Beitrag im Chat.

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Du scheinst es noch nicht mitbekommen zu haben, dass es einem Antwortgeber nicht möglich ist, zu erkennen, dass schon andere ebenso an einer Antwort arbeiten.

Ärgert mich auch, das können mehrere andere Foren besser. Aber das ist hier nicht der Punkt.

Und zum Thema 'Komplettlösung' lies meinen letzten Beitrag im Chat.

Dito.

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Dito.

und was ist Grund für Deinen Spot? Möchtest Du Dich darüber amüsieren, wenn der Verspottete dann not amused ist?

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Aber das ist hier nicht der Punkt.

Sondern?

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Ich hätte überhaupt nicht gesagt, wenn du (wegen Unsichtbarkeit von zeitgleichen anderen Reaktionen) dem Fragesteller nochmal ähnliche Hinweise gegeben hättest wie die anderen.

Aber von vornherein auf Fertiglösungen zu gehen provoziert Kritik, Spott und ähnliche Gegenreaktionen von Leuten, die "Hilfe" aus gutem Grund anders definieren.

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Aber von vornherein auf Fertiglösungen zu gehen provoziert Kritik, Spott  ..

Ja - warum denn eigentlich?

Es steht doch dazu die ganz klare und unbestrittene Aussage des Foren-Betreibers im Raum sowie das 98%-ige-Non-feedback der Fragesteller, dass Komplettlösungen nicht nur ok, sondern auch erwünscht sind.

Klar kann man das kritisieren, das tue ich auch. Aber ich maule deshalb niemanden an, nur weil er/sie hier eine Lösung postet.

Was soll also dieser Spott?

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@abakus: Du hast Deine Meinung zum Thema oft genug kund getan. Das Forum bietet aber nun mal Komplettlösungen. Wie schon öfter gesagt: Wenn Dir das nicht passt, kannst Du gehen. Jedes Mal Deine Meinung (!) kund zu tun ist aber störend, zumal Du Schwierigkeiten mit dem richtigen Ton hast. Unterlass es bitte einfach.

Answer 2

Die Punktsymmetrie bedeutet, dass der Ansatz f(x)=ax⁵+bx³+cx genügt.

Berühren heißt gleiche Steigung,also f '(1)=2.

Comments

Vielen Dank! Daran hatte ich gar nicht gedacht

Answer 3

Hallo,

punktsymmetrisch zum Ursprung heißt, es gibt nur x mit ungeraden Exponenten:

$$f(x)=ax^5+bx^3+cx\\ f'(x)=5ax^4+3bx^2+c\\ f''(x)=20ax^3+6bx$$

P (1 | -2) ⇒ f(1) = -2

P hat die gleiche Steigung wie die Tangente, die P berührt: f'(1) = -2

Wendestelle bei x = -2 ⇒ f''(-2) = 0

Daraus kannst du drei Gleichungen mit drei Unbekannten machen und das System lösen.

Falls du noch Hilfe brauchst, melde dich.

Gruß, Silvia

Comments

Danke, dass hat mir weiter geholfen. :)