Linearkombinationen - Vektor in der linearen Hülle

Question

Hallo,

ich möchte herausfinden, ob folgender Vektor.:
a = (5,4,4)
in der linearen Hülle.:
L.: (-3,4,2) und (4,-2,1)
vorhanden ist oder nicht.

Problem/Ansatz:

Habe Folgendes bereits probiert.:
-3x + 4y = 5
4x + -2y = 4 
2x + y = 4
Egal wie ich das mache, ich komme nicht zu den Werten 2 und 1 (Werte lt. Lösung).

-----1. Versuch - umformen nach x.:

(-3x + 4y) + (4x + -2y ) = 5+4
x + 2y = 9

== x = 9 - 2y

-3(9 - 2y) + 4y = 5
-27 + 6y + 4y = 5
10y = 32
y = 3,2 --- Hier sollte eine 1 rauskommen.
-----2. Versuch - umformen nach y.:
-3x + 4y = 5
4y = 5 + 3x


4x + -2y = 4 
2x + -y = 2
-y = 2 - 2x
y = -2 + 2x


4*(-2 + 2x) = 5 + 3x
-8 + 8x = 5 + 3x
5x = 13
x = 13/5

Was  mache ich nur falsch?

Danke & Sg

Keita

Answer 1

Aloha :)

Du willst ja Werte $x$ und $y$ bestimmen, die folgende Vektorgleichung erfüllen:$$\left(\begin{array}{c}5\\4\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\4\\2\end{array}\right)\cdot x+\left(\begin{array}{c}4\\-2\\1\end{array}\right)\cdot y$$Du hast hier 2 Unbekannte, aber 3 Gleichungen. Um zu prüfen, ob $(5|4|4)$ in der linearen Hülle liegt, wählst du 2 Gleichungen aus, berechnest daraus $x$ und $y$ und prüfst dann, ob diese $x,y$-Werte auch die dritte Gleichung erfüllen. Falls ja, liegt der Punkt $(5|4|4)$ in der linearen Hülle, falls nein, liegt er nicht in der Hülle.

Wir wählen die beiden ersten Gleichungen aus:$$5=-3x+4y$$$$4=4x-2y$$Die Lösung ist $x=2,6$ und $y=3,2$. Wir prüfen damit die dritte Gleichung:$$2\cdot2,6+3,2=8,4\ne4$$Damit liegt $(5|4|4)$ nicht in der linearen Hülle.

Comments

Aloha.)

alles klar - vermutlich ist dann die Lösung falsch - hab nämlich auch 2,6 (13/5) als Lösung. Danke dir.