Schreiben mit vollständigem Quadrat

Question

Hi, das Ergebnis kenne ich schon. Nur erschließt sich mir bedauerlicher Weise der Rechenweg noch nicht.
Es soll rauskommen (2x+1/4)^2- 1/16

Kann mir jemand den Lösungsweg aufschlüsseln und vielleicht anhand eines anderen Beispiel erklären?

4x^2 + x


beste Grüße,bahamas

Comments

hallo noch einmal, sorry, ich wollte meinen beitrag
gerade noch ändern, aber die 5 minuten waren um.

mir ist gerade aufgefallen, dass dieses ergebnis
doch eher recht unkonvetionell ist. das ist nicht
das standardmäßige vorgehen zur bildung einer
quadratischen ergänzung.

man könnte sich die lösung so zusammenfummeln:

4x² + x  = ...

hier wird der umstand genutzt, dass sich aus
4x² glatt eine wurzel ziehen lässt, also wir das unser a²
d.h. 4x² = a²
aus der zweiten binoformel erhalten wir

(a+b)² = a² + 2ab + b²

also
a² = 4x² I)
und
2ab = x  II)

aus I) bekommen wir
a = 2x
eingesetzt in II)
bekommen wir
2(2x)b = x     | x rauskürzen
4b = 1
schließlich
b = 1/4
und b² = 1/4²

alles wieder zusammengefriemelt ergibt

a² + 2ab + b² = 4x² + x + 1/4²

um den term nicht zu verändern, müssen wir die quadratische ergänzung wieder subtrahieren.

4x² + x = 4x² + x + 1/4² - 1/4² =
(2x + 1/4)² - 1/4² =
(2x + 1/4)² - 1/16

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@gorgar,

  deine 1.Antwort finde ich klarer und sofort nachvollziehbar.
Besser geht´s nicht.

  mfg Georg

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@gorgar: "gerade noch ändern, aber die 5 minuten waren um."

Danke für die Erwähnung der 5-min-Sperre. Ich habe die Zeit für das Editieren von Antworten nun auf 20 min angehoben.

Hoffe das hilft.
Lg Kai

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@Georg: die ist aber falsch. daher meine korrektur als kommentar.

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@Kai: super!

lg,

gorgar

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hi, der zweite Schritt ist mir immer noch unklar. Warum muss ich 1/4 nehmen und warum geht an der Stelle nicht 1/2? Könnte man die Aufgabe auch so lösen wenn an zweiter Stelle 5x stünden? (5x wäre jetzt einen Neue Aufgabe)

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@bahamas,

  4x² + x

  wir nehmen einmal an der Term wäre Teil der ersten binomischen
Formel welche lautet

  a^2 + 2ab + b^2

  a^2 soll 4x^2 entsprechen, daraus folgt

  a = 2x

  2ab soll x entsprechen, daraus folgt

  2ab = 2*2x*b = 1*x,  daraus folgt
  2*2*b = 1
  b = 1/4

  Die binomische Formel lautet also
  4x^2 + x + (1/4)^2

  Damit der Term mit dem Ursprungsterm übereinstimmt
muß (1/4)^2 abgezogen werden

  4x^2 + x + (1/4)^2 - (1/4)^2 = 4x^2 + x  
  l jetzt noch die binomische kürzer schreiben

    ( 2x + 1/4 )^2 - (1/4)^2

 Da wollten wir hin.

  mfg Georg

 

Answer 1

hi! ^^ :-)

4x² + x =
jetzt folgt eine quadratische ergänzung(faktor vor x halbieren und quadrieren):
4x² + x + 1/4² - 1/4² =
(2x + 1/4)² - 1/4² =
(2x + 1/4)² - 1/16

gruß
    gorgar

Comments

faktor vor x halbieren und quadrieren

Der Faktor vor dem x ist 1. Halbiert und quadriert ergibt sich daraus (1 / 2 ) ² nicht ( 1 / 4 ) ² .

Dennoch ist vorliegend ( 1 / 4 ) ² "zufällig" die korrekte quadratische Ergänzung, daher stimmt dein Ergebnis. Der Rechenweg aber ist falsch.

Dein Fehler besteht darin, dass man den Algorithmus zur Bestimmung der quadratischen Ergänzung in der von dir angewendeten Form ( "Faktor vor x halbieren und quadrieren") nur benutzen darf, wenn der Koeffizient des quadratischen Gliedes 1 ist. Das aber ist hier nicht der Fall.

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ja, war mir auch klar geworden. zum editieren hatte ich aber keine zeit mehr. deshalb habe ich meine korrektur als kommentar unter bahamas frage geschrieben und dort gezeigt, wie und warum man in diesem fall die quadratische ergänzung berechnen kann.

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Oh, sorry, das hatte ich irgendwie übersehen. Dann also nichts für ungut :-)

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kein problem! :-)

so ist es auch besser, wenn der hinweis direkt unter der lösung steht.