Schulgeometrie - Gesucht is der Umfang der Figur in der Mitte des Quadrats

Question

Aufgabe:

a) Berechne von der Figur im Quadratden Umfang (Orange Linien). Die Quadratseite misst 12 cm.

b) Berechne anschliessend die schraffierte Fläche.

Idee:

Ist es ein Kreis mit Radius r = 12 cm ?

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf die Lösung?

Welche Formel verwendet man dafür ?

Comments

Berechne von der Figur im Quadrat den Umfang (Orange Linien).

Du hast nicht nur den Umfang orange angemalt, sondern wenn ich das richtig sehe alle Kreisbogen. Willst Du also den Umfang wissen (so wie andernorts auf dieser Seite von Roland angenommen) oder die Länge der orangen Linien (so wie von Werner-Salomon angenommen)?

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Es wurde wirklich die Linie gemeint, also nicht das Blumenmuster selbst. :-)

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Die Frage ist, die ganze orange Linie oder nur den Umfang.

Answer 1

Ist dies gemeint:

Text erkannt:

Dann sind das acht Drittel von Viertelkreisen mit dem Radius 12 cm. Also 2/3·π·12².

Comments

Dann sind das acht Drittel von Viertelkreisen mit dem Radius 12 cm. Also 2/3·π·12²

Wobei zu beweisen wäre, dass jeder der 8 Teilbögen wirklich genau ein Drittel des Viertelkreises ist.

Du machst es dir sehr einfach.

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Dann füge ich nochmal eine kleine Skizze an in der man das eventuell besser sehen kann. Ich hoffe es langt wenn ich nur ein gleichseitiges Dreieck einzeichne.

Answer 2

Halllo limonade,

Welche Formel verwendet man dafür ?

Die Frage nach der Formel ist wie immer der falsche Weg. Die Frage müßte lauten: was siehst Du da oben in der Skizze? Kannst Du das auf bekannte Strukturen zurück führen.

Berechne von der Figur im Quadratden Umfang (Orange Linien)

Die Länge der orangen Kreisabschnitte sind vier Viertelkreise. Demnach ist ihre Gesamtlänge identisch mit dem Umfang eines Kreises vom Radius der Quadratseite - und den Kreisumfang kennst Du!

Mit 'Umfang' würde ich das aber nicht bezeichnen!

Wenn man den Umfang sucht, so müste man doch die Kreissegemente innerhalb der Figur weglassen (z.B. zwischen den Punkten $F$ und $G$) - oder? Der Winkel $\angle FAG$ sind genau $30°$ - warum? $30°$ sind der 12'te Teil eines Vollkreises. Vier davon sind $4/12 = 1/3$ des Vollkreises. Verbleiben für den Umfang $U$ der Figur$$U = \left(1 - \frac 13\right) U_{Kreis} = \frac 43 \pi r$$

Berechne anschliessend die schraffierte Fläche.

Suche auch hier nach bekannten. Die Kunst besteht u.U. darin, etwas weg zu lassen

was siehst Du da oben? Das ist ein Viertelkreis - und seine Fläche ist ein Viertel eines Vollkreises. Nun denke Dir die gleiche Figur zwischen den Punkten $D$, $A$ und $C$. Wenn Du das dazu zählst, dann ist die Fläche $A^*$ in der Mitte doppelt belegt - also diese Linse zwichen den Punkten $A$ und $C$ . Folglich ist $$A^* = 2 \cdot \frac 14 A_{Kreis} - A_{Quadrat}$$Und die gesuchte Fläche $A$, die Du oben sschraffiert hast, ist doch genau die Different vom Quadrat zu $A^*$ - also:$$A = A_{Quadrat} - A^* = A_{Quadrat} - \left( \frac 12 A_{Kreis} - A_{Quadrat}\right) = 2 A_{Quadrat} - \frac 12 A_{Kreis}$$ Alles klar?

Nachtrag:

Die Kunst kann auch darin bestehen, etwas hinzuzufügen:

Wie groß ist die grüne Fläche?

Answer 3

Hier ist die Graphik und die Funktionen:

Comments

Die schraffierte Fläche oben links auf Deiner Skizze ist die Quadratfläche minus den Viertelskreis (mit Mittelpunkt unten rechts). Die gesamte schraffierte Fläche ist davon das Doppelte.

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Kannst du es näher ausführen ? 

Es ist übrigends genau die blaue Linie gemeint, nicht das Blumenmuster als Figur. :-/

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Was willst Du näher ausgeführt haben?

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Es ist übrigends genau die blaue Linie gemeint, nicht das Blumenmuster als Figur. :-/

Und was hat bitte nur die blaue Linie mit einem Umfang zu tun?

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Die blaumarkierte Linie insgesamt beschreibt doch einen Kreis.

Dessen umfang ist gesucht.

Das heisst, ohne das Mittelteil zu entfernen.

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D.h. Du suchst nicht den Umfang, sondern alles was Du orange angemalt hast?

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Das blaue ist ein Viertelkreis mit dem Radius 12. Alle vier Linien des Blumenmusters ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius 12. Wenn du davon den Umfang berechnen kannst bist du fertig.

L = 2 * pi * 12 = 24 * pi

Von Umfang solltest du aber nicht sprechen. Umfang ist alles was eine Fläche einschließt.

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jawohl Gesucht sind wirklich die Längen der markierten Linien.

Die Formulierung "Figur" hat mich einwenig irregeführt. Denn da wollte ich die Blume, also den Umfang der Blume, so wie es Werner-Salomon und Roland gezeigt hatten, berechnen.

Es ist nicht so klar formuliert in der Aufgabenstellung. :-(

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Werner Salomon hat ja eben etwas anderes gezeigt, nämlich nicht den Umfang, sondern das was gesucht wurde....

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Es ist nicht so klar formuliert in der Aufgabenstellung. :-(

Der Begriff Umfang ist schon klar definiert.

Berechne von der Figur im Quadrat den Umfang.

Das ist genau das was Roland gemacht hat. Und ich würde fast annehmen das du den Unsinn "(Orange Linien)" einfach dazu geschrieben hast und das das nicht in der Fragestellung enthalten war.

Es ist immer günstig eine Fragestellung im Original hier einzustellen und nicht persönlich zu verändern. Das geht in mehr als 50% der Fälle schief.

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Ich habe die Frage tatsächlich 1 zu 1 übernommen, so wie sie in der Aufgabenstellung stand. Die Orangen Linien und Schraffierungen auf der Zeichnung sind von der Lehrerin gemacht worden.

Aber in Zukunft werde ich mich mehr auf Klarheit achten.

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Aber in Zukunft werde ich mich mehr auf Klarheit achten.

Dann sollte der Hinweis auch an die Lehrerin gehen. Es ist ok nach der Länge der orangen Linien zu fragen. Es ist auch ok nach dem Umfang zu fragen. Beides zu verwursteln ist extrem unglücklich. Aber vielleicht sehe ich das auch nur so. es scheint sich ja kein Schüler von euch beschwert zu haben.