Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht die Botschaft das Ziel?

Question

Aufgabe:

Angesichts von Wegelageren muss damit gerechnet werden, dass von 5 Boten durchschnittlich nur einer das Ziel erreicht. Es werden deshalb zur Übermittlung einer Nachricht unabhängig voneinander 10 Boten ausgesandt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht die Botschaft das Ziel?

Answer 1

Aloha :)

Wenn nur einer von 5 Boten sein Ziel erreicht, ist die Wahrscheinlichkeit für ein Durchkommen $\frac{1}{5}$. Nun werden 10 Boten unabhängig voneinander losgeschickt. Jeder von ihnen wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{4}{5}$ abgefangen. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 10 Boten abgefangen werden ist $\left(\frac{4}{5}\right)^{10}$. Wenn nicht alle Boten abgefangen werden, kommt mindestens einer durch. Daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:$$p(\ge1)=1-P(=0)=1-\left(\frac{4}{5}\right)^{10}=1-0,107374=0,892626\approx89,26\%$$