Jede Cauchyfolge hat einen Häufungspunkt

Question

Aufgabe:

Besitzt jede Cauchyfolge einen Häufungspunkt?

Problem/Ansatz:

Eine Cauchyfolge konvergiert laut Cauchy-Kriterium. Betrachte man eine Cauchyfolge in Q, die gegen eine irrationale Zahl (in R) konvergiert. Eigentlich besitzt diese dann einen Häufungspunkt, da in jeder noch so kleinen Umgebung des (irrationalen) Punktes unendlich viele Folgeglieder liegen.

Ich bin mir bei der Antwort nicht ganz sicher. Stimmt es so?

Answer 1

Besitzt jede Cauchyfolge einen Häufungspunkt?

Jede Cauchy-Folge über einem vollständigen Universum besitzt einen Häufungspunkt.

Betrachte man eine Cauchyfolge in Q

Das hört sich danach an, als ob das zugrunde liegende Universum ℚ ist. Dann ist es möglich, dass die Cauchyfolge keinen Häufungspunkt hat.

da in jeder noch so kleinen Umgebung des (irrationalen) Punktes

Dieser Punkt existiert im Universum ℚ nicht. Deshalb ist es sinnlos, von einer Umgebung dieses Punktes zu sprechen.

Comments

Es ist kein Raum angegeben. Nur die Aussage "Jede Cauchyfolge hat einen Häufungspunkt". Diese soll nun verneint oder bejaht werden.

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Wie lautet denn die Definition von Cauchyfolge?

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Eine Folge (a_n) komplexer Zahlen heißt Cauchyfolge, wenn es zu jedem ε>0 ein N∈ℝ gibt, so dass gilt: |a_n - a_m| < ε, falls n>N und m>N.

Und dann noch:
- Eine Folge (a_n) komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie Cauchyfolge ist.
- Für archimedisch angeordnete Körper gilt: Intervallschachtelungsprinzip ⇒ Satz von Bolzano-Weierstraß ⇒ Cauchy-Kriterium ⇒ Intervallschachtelungsprinzip.
- Der Körper ℂ ist vollständig in dem Sinne, dass jede Cauchyfolge in ℂ konvergiert.

Da die Folgeglieder immer beliebig klein werden und gegen einen Wert konvergieren hat eine Cauchyfolge einen Häufungspunkt. Doch was passiert, wenn es über keinem vollständigen Raum ist?

Hier ein Beispiel was ich meine: https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge#Vollständigkeit 
Muss für den Häufungspunkt der Grenzwert im selben Raum liegen? Weil um den Punkt gibt es ja dennoch unendlich viele Folgeglieder, die in einer beliebig kleinen Umgebung liegen.

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Eine Folge (a_n) komplexer Zahlen heißt Cauchyfolge ...

Dann ist ℂ das betrachtete Universum und jede Cauchyfolge hat einen Häufungspunkt.

Doch was passiert, wenn es über keinem vollständigen Raum ist?

Dann kann es sich nach deiner Definition überhaupt nicht um eine Cauchyfolge handeln, weil die nur auf komplexen Zahlen definiert ist.

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Alles klar, vielen Dank!