Abschaetzung Fouriertransformierte fuer Funktionen mit kompakten Traeger

Question

Hat jemand ein Beweis dafuer?

Sei f s mal stetig differenzierbar und mit kompakten Traeger, dann existiert c reel, s.d:

abs(F(k)) ≤ c/(1+abs(k))^s,   fuer alle k in Rⁿ. (F ist die Fouriertransformierte von f)

Es ist mir schon klar, dass es ein Maximum der funktion existiert, aber woher kommt der Facktor (1+abs(k))^-s?

Vielen Dank

Comments

Hallo,

Du musst die Regel für die Fourier-Transformierte von Ableitungen der Ordnung s anwenden.

Gruß

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Hallo,

Ja, aber dann kriege ich eine obere schranke von c/(abs(k)^s), nicht von c/((1+abs(k))^s).

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Hallo,

eine Fourier-Transformierte ist ja selbst auch beschränkt. Du hast also im Prinzip:

\(|F(k)| \leq A\) und \(|F(k)|\leq B |k|^{-s}\) dann existiert ein \(C\) mit

\(|F(k)|\leq \frac{C}{(1 + |k|)^{s}}\)

Gruß