Richtung des Vektors (Funktion)

Question

Könnte mir jemand zeigen, wie man folgende Aufgabe rechnet?

Mich verwirrt dabei, dass man eine Funktion und keinen Vektor gegeben hat...

 Aufgabe:

Finden Sie die Richtung des Vektors (den Einheitsvektor) für den $\frac{\partial f(x, y)}{\partial \mathbf{a}}=0$

$f(x, y)=x e^{y}+y e^{x} .$

Answer 1

Hallo

 mit dem Zeichen wird manchmal die Ableitung in Richtung des Vektors a geschrieben. Du kannst in wiki oder Netz oder Skript unter Richtungsableitung nachlesen.

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

das ist die Richtungsableitung.

Die berechnet sich gemäß

$$\frac{\partial f(x, y)}{\partial \mathbf{a}}=<grad(f), \mathbf{a}>=<\begin{pmatrix} e^y+ye^x\\xe^y+e^x \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}>=a(e^y+ye^x)+b(xe^y+e^x)=0\\$$

Umstellen nach b liefert:

$$b=\frac{a(e^xy+e^y)}{xe^y +e^x}\\ \mathbf{a}=\begin{pmatrix} a\\\frac{a(e^xy+e^y)}{xe^y +e^x} \end{pmatrix}$$

Jetzt müsstest du den Vektor noch normieren

Comments

Danke schonmal für die Erklärung. Mittlerweile verstehe ich etwas mehr, was ich machen muss.

Jedoch kommt bei mir, wenn ich den Betrag von a bestimmen will, immer 0 raus, weshalb ich mit dem Ergebnis den Vektor nicht normieren kann.....

Wie würdest du den Betrag den errechnen?

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$$|\mathbf{a}|=1 \Longleftrightarrow a^2+\frac{a^2(e^xy+e^y)^2}{(xe^y+e^x)^2}=1\\ a^2[1+\frac{(e^xy+e^y)^2}{(xe^y+e^x)^2}]=1\\ a^2=\frac{1}{1+\frac{(e^xy+e^y)^2}{(xe^y+e^x)^2}}$$

Dann noch die Wurzel nehmen.

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Achso, dankeschön