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Aufgabe: Durch den Punkt Q (5/16) und den Punkt P auf der Parabel wird ein achsenparalleles Rechteck festgelegt. Wie muss der Punkt P gewählt werden, damit die Rechteckfläche maximal wird?


geg.:

Q (5/16)

f(x)= -x^2+9

Punkt P (x / f(x)) liegt entsprechend auf der Parabel und entspricht der unteren linken Ecke des Rechtecks.

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A(x) = ( 5-x)*(16-f(x)) = -x^3 + 5x^2 - 7x + 35

A ' (x) = -3x^2 + 10x - 7

A ' (x) = 0 <=> x=1 oder x = 7/3

A ' ' (x) = 10-6x  A ' ' (1) = 4 > 0 also Min bei x=1

A ' ' (7/3) = -4 < 0 also Max bei x=7/3

Def.Bereich  ist nicht eingeschränkt ?

Dann gäbe es keine absoluten Extrema und es müsste auch bei A(x) mit Beträgen

gearbeitet werden. Für x gegen - unendlich wird der Flächeninhalt unbegrenzt groß.

von 196 k 🚀

So wie ich es einschätze, ist das Erkennen der Notwendigkeit eines Definitionsbereich hier ebenfalls gefragt oder besser gesagt ist es für den ursprünglichen Aufgabensteller selbstverständlich, dass man den Bereich sinnvoll eingrenzt.

Danke schon einmal.

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Hallo,

So wie ich es einschätze, ist das Erkennen der Notwendigkeit eines Definitionsbereich hier ebenfalls gefragt oder besser gesagt ist es für den ursprünglichen Aufgabensteller selbstverständlich, dass man den Bereich sinnvoll eingrenzt.

Das ist sicher richtig.

Auf folgendem Plot ist der Graph (rot) zu sehen, auf dem sich alle dem Punkt \(Q\) gegenüber liegenden Punkte befinden, die ein Rechteck mit dem Flächeninhalt von 32 haben. Dieser Graph berührt an der Stelle \((1;8)\) die Parabel (blau). Hier liegt also ein lokales Extremum vor.

~plot~ {5|16};-x^2+9;[[-4|7|-2|19]];32/((x-5))+16;{1|8};33.18/((x-5))+16;x=5;16;{7/3|32/9};2x^2 -10x + 16 ~plot~

Da die Rechtecke nach links unten größer werden und nach rechts oben kleiner ist dieser Punkt ein Minimum.

Die grüne Hyperbel zeigt alle Punkte der Rechtecke mit Flächeninhalt \(33+5/27\) - also nur unwesentlich größer! Der Graph der Hyperbel berührt die Parabel bei \((7/3;\, 32/9)\). Aber diesmal von 'innen' - hier liegt also das lokale Maximum.

Diese Zusammenhänge erhält man, wenn man das Prinzip des Lagrange-Multiplikator kennt.$$A_r = (5-x)(16-y) = 80 - 16x -5y + xy \\ \text{NB.:} \space -x^2+9-y = 0 \\ L(x,y,\lambda) = 80 - 16x -5y + xy + \lambda(-x^2+9-y)\\ \frac{\partial L}{\partial x} = -16 + y -2\lambda x = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = -5 + x - \lambda = 0 \implies \lambda = x-5\\ \begin{align} -16 + y -2(x-5) x &= 0 \\ -16 + y - 2x^2 +10x &= 0 \\ y &= 2x^2 -10x + 16 \end{align}$$setzt man den gefundenen Zusammenhang (die schwarze Parabel) in die Nebenbedingung (NB) ein, erhält man die oben beschriebene Lösung.

Gruß Werner

von 27 k

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