Bestimmen sie die Funktionsgleichung von g

Question

Hallo und zwar bräuchte ich Hilfe bei folgenden Aufgaben:

Die Funktion g ist eine Funktion 3. Grades. Sie hat bei P(0|8) einen Extrempunkt und an der Wendestelle x=-4 eine Steigung von 6.

1) bestimmen sie die Gleichung von g

Kontrollergebnis: g(x)= -0.125x^3 -1,5x^2 +8

2) Begründen sie, dass die Funktion g keinen Sattelpunkt haben kann.

Danke :)

Answer 1

Aloha :)

Eine Funktion dritten Grades hat die Form:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$Wegen der Nullstelle \((0|8)\) ist \(f(0)=8\), sodass \(d=8\) sein muss:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+8$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$Bei \((0|8)\) liegt aber auch ein Extrempunkt, d.h. \(f'(0)=0\), sodass \(c=0\) sein muss.$$f(x)=ax^3+bx^2+8$$$$f'(x)=3ax^2+2bx$$$$f''(x)=6ax+2b$$Bei \(x=-4\) liegt eine Wendestelle, d.h.$$0=f''(-4)=-24a+2b\quad\Rightarrow\quad b=12a$$Und bei \(x=-4\) beträgt die Steigung \(6\), also$$6=f'(-4)=48a-8b=48a-96a=-48a\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{6}{48}=-\frac{1}{8}$$Die gesuchte Funktion lautet daher:$$f(x)=-\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{2}x^2+8$$

Jede Funktion 3-ten Grades hat genau einen Wendepunkt. Hier hat dieser Wendepunkt die Steigung \(6\). Für einen Sattelpunkt müsste die Steigung jedoch \(=0\) sein.

~plot~ -1/8x^3-3/2x^2+8 ; {0|8} ; {-4|-8} ; [[-10|5|-30|10]] ~plot~

Answer 2

Die Funktion g ist eine Funktion 3. Grades. Sie hat bei P(0|8) einen Extrempunkt und an der Wendestelle x=-4 eine Steigung von 6.

1) bestimmen sie die Gleichung von g

Benutze: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f(x) = -0,125·x^3 - 1,5·x^2 + 8

2) Begründen sie, dass die Funktion g keinen Sattelpunkt haben kann.

Eine Funktion dritten grades kann nur einen Wendepunkt haben. Da dort die Steigung 6 ist, kann es kein Sattelpunkt sein, da dieser die Steigung 0 hätte.

Comments

Rechts findet man bei diesem Rechner sogar die Möglichkeit, bei Problemen mit den Bedingungen deren Wortformulierung anzuklicken, wonach die Bedingung automatisch erstellt wird.