n3+n+2 durch 4 teilbar

Question

Hallo, ich brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe:

n ist eine natürliche Zahl, welche nicht durch 4 teilbar ist. Nun soll gezeigt werden, dass n³+n+2 durch 4 teilbar sein muss.

Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Vielen Dank im Voraus!

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Ein schnellerer Weg ist $f = X^3+X+2\in \mathbb {Z}_4 [X]$ zu betrachten. Nullstellen sind 1, 2 und 3. Fertig.

Answer 1

Danke an Tschakabumba für die Erhellung.

Zu zeigen:

n³ + n + 2 ist durch 4 teilbar wenn n kein vielfaches von 4 ist.

Induktionsanfang: n = 1, 2, 3

1³ + 1 + 2 = 4 ist durch 4 teilbar
2³ + 2 + 2 = 12 ist durch 4 teilbar
3³ + 3 + 2 = 32 ist durch 4 teilbar

Induktionsschritt: n → n + 4

(n + 4)³ + (n + 4) + 2 ist durch 4 teilbar
(n³ + 12·n² + 48·n + 64) + (n + 4) + 2 ist durch 4 teilbar
n³ + 12·n² + 49·n + 70 ist durch 4 teilbar
n³ + n + 2 + 12·n² + 48·n + 68 ist durch 4 teilbar
(n³ + n + 2) + (12·n² + 48·n + 68) ist durch 4 teilbar
(n³ + n + 2) + 4·(3·n² + 12·n + 17) ist durch 4 teilbar
wahr, da die Summe zweier durch 4 teilbarer Zahlen durch 4 teilbar ist.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!!

Answer 2

Induktion ist hier völlig überflüssig:

$n = 4k+a$ mit $a \in \{0,1,2,3\}$

$n^3+n+2 = (n^2+1) n+2 = (16k^2+a^2+8ak+1)(4k+a)+2$

Alle Vielfachen von 4 löschen:

$= (a^2+1)(a)+2 = a^3+a+2$

Für $a = 0,1,2,3$

ergibt sich

$2, 4, 12, 32$.