Bestimmen aller Lösungen der Gleichung x² + 8 = 10x - x³

Question

Bestimme alle Lösungen der folgenden Gleichung:

x² + 8 = 10x - x³

Finde dabei maximal eine Lösung durch Probieren.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Formel zuerst so umstellen, dass rechts eine Null steht:$$\left.x^2+8=10x-x^3\quad\right|\;+x^3$$$$\left.x^3+x^2+8=10x\quad\right|\;-10x$$$$\left.x^3+x^2-10x+8=0\quad\right.$$Es gibt einen wichtigen Trick, um die Nullstellen von Polynomen zu erraten:

Alle ganzzahligen Nullstellen müssten Teiler der "Zahl ohne $x$" sein.

Die "Zahl ohne $x$" ist die $8$. Alle Teiler von $8$ sind: $\pm1\;,\;\pm2\;,\;\pm4\;\,\;\pm8$

Diese Werte kannst du nun der Reihe nach für $x$ durchprobieren. Und siehe da, wir finden unter diesen Kandidaten bereits alle 3 möglichen Nullstellen:$$x=-4\quad;\quad x=1\quad;\quad x=2$$Da du aber nur maximal eine Nullstelle durch Probieren bestimmen sollst, musst du wohl eine Polynomdivision durchführen. Wir nehmen als "geratene Nullstelle" die bei $x_1=-4$. Also können wir das Polynom durch $(x+4)$ dividieren:$$(x^3+x^2-10x+8):(x+4)=x^2-3x+2$$Die so erhaltene quadratische Gleichung können wir mit der pq-Formel lösen:

$$x_{2,3}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{4}}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}$$Damit haben wir zusammen mit der "geratenen" Lösung $x_1=-4$ nun auch berechnet, was wir oben bereits wussten:$$x_1=-4\quad;\quad x_2=1\quad;\quad x_3=2$$

Comments

Könnte man diese Quadratische Gleichung auch ohne die pq-Formel lösen um auf die Nullstellen zu kommen?

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Ja. Wie das Beispiel ja schön zeigt, kannst du mit dem "Teiler-Trick" schon alle 3 Nullstellen "erraten" und brauchst die pq-Formel dann gar nicht.

Denselben "Teiler-Trick" kannst du natürlich auch nach der Polynom-Division auf das übrig gebliebene Polynom anwenden:$$x^3-3x+2=0$$Die Zahl ohne $x$ ist die $2$. Deren Teiler sind $\pm1$ und $\pm2$. Durchprobieren liefert die Lösungen $x=1$ und $x=2$.

Mit diesem Trick findet man allerdings nur die ganzzahligen Lösungen einer Gleichung. Wenn es solche Lösungen nicht gibt, solltest du an die pq-Formel denken ;)

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Alles klar, vielen Dank! :)

Answer 2

Geraten: x₁=1.

(x³+x²-10x+8):(x-1)=x²+2x-8=(x+4)(x-2) also x₂=-4 und x₃=2.