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Hey!


Zwei Sportler drehen auf einer 400 m langen Laufbahn ihre Trainingsrunden. Sie starten
gleichzeitig, aber der eine erreicht eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 18 km/h und der
andere von 15 km/h. Wann überrundet der schnellere Läufer den langsameren, und welche
Strecke hat er bis dahin zurückgelegt?


Eine Schwimmerin will einen 2 km breiten See überqueren. Sie schwimmt mit 2 km/h. 10
Minuten später folgt ihr ihr Mann in einem Boot mit 6 km/h.
a) Wann und wo überholt der Mann die Schwimmerin?
b) Nachdem der Mann am anderen Ufer angekommen ist, macht er 10 Minuten Pause
und rudert dann wieder zurück. Wann und wo begegnet er seiner Frau?

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Zwei Sportler drehen auf einer 400 m langen Laufbahn ihre Trainingsrunden. Sie starten gleichzeitig, aber der eine erreicht eine  Durchschnittsgeschwindigkeit von 18 km/h und der andere von 15 km/h. Wann überrundet der schnellere Läufer den langsameren, und welche Strecke hat er bis dahin zurückgelegt?

s = 18 * t = 15 * t + 0.4 --> t = 2/15 h = 8/60 h = 8 min

s = 18 * 2/15 = 2.4 km

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A läuft eine Runde in 4/3 Minuten.

B läuft eine Runde in 8/5 Minuten.

Nach 8/5 Minuten hat B 400 m und A 480 m zurückgelegt.

Pro Runde vergrößert sich der Vorsprung um 80 m.

Nach 5 Runden (des Läufers B) überrundet Läufer A (der inzwischen 6 Runden gelaufen ist) den Läufer B.

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Aloha :)

Läufer-Aufgabe

Die Läufer haben einen Tempo-Unterschied von \(3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\). Da beide zur gleichen Zeit gestartet sind, findet die Überrundung nach \(400\,\mathrm m\) statt. Die dafür benötigte Zeit \(t\) ist:$$t=\frac{400\,\mathrm m}{3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}}=\frac{400\,\mathrm m}{3\,\frac{1000\,\mathrm{m}}{60\,\mathrm {min}}}=\frac{400\,\mathrm m}{3\cdot1000\,\mathrm{m}}\cdot60\,\mathrm {min}=8\,\mathrm {min}$$Der schnellere Läufer legt in dieser Zeit die folgenden Strecke zurück:$$s=18\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\cdot8\,\mathrm {min}=18\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm{min}}\cdot8\,\mathrm {min}=2,4\,\mathrm{km}$$

Schwimmer-Aufgabe

Die Schwimmerin ist \(t_1=10\,\mathrm{min}\) lang mit \(2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) unterwegs und hat danach den Vorsprung:$$s_1=2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\cdot10\,\mathrm {min}=2\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm{min}}\cdot10\,\mathrm {min}=\frac{20}{60}\,\mathrm{km}=\frac{1}{3}\,\mathrm{km}\approx333,33\,\mathrm{m}$$Jetzt rudert der Mann mit \(6\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) los, ist also \(4\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) schneller als seine Frau. Um den Vorsprung aufzuholen benötigt der Mann die Zeit:$$t_2=\frac{\frac{1}{3}\,\mathrm{km}}{4\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}}=\frac{\frac{1}{3}\,\mathrm{km}}{4\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm {min}}}=\frac{\frac{1}{3}\,\mathrm{km}}{4\,\mathrm{km}}\cdot60\,\mathrm {min}=5\,\mathrm {min}$$Zu diesem Zeitpunkt beträgt die Entfernung der beiden vom Start-Ufer:$$s_2=6\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\cdot5\,\mathrm {min}=6\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm{min}}\cdot5\,\mathrm {min}=\frac{5}{10}\,\mathrm{km}=0,5\,\mathrm{km}=500\,\mathrm{m}$$Jetzt rudert der Mann weiter zum anderen Ufer, das noch \(1,5\,\mathrm{km}\) entfernt ist. Da er für die ersten \(500\,\mathrm m\) genau \(5\,\mathrm{min}\) gebraucht hat, wird der für die fehlenden \(1,5\,\mathrm{km}\) noch \(t_3=15\,\mathrm{min}\) brauchen. Dann macht er \(t_{\text{Pause}}=10\,\mathrm{min}\) Pause, bevor er wieder seiner Frau entgegen rudert. Zu diesem Zeitpunkt ist die Frau insgesamt schon$$t_4=t_1+t_2+t_3+t_{\text{Pause}}=10\,\mathrm{min}+5\,\mathrm{min}+15\,\mathrm{min}+10\,\mathrm{min}=40\,\mathrm{min}$$mit \(2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) unterwegs, hat also$$s_4=2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\cdot40\,\mathrm {min}=2\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm{min}}\cdot40\,\mathrm {min}=\frac{80}{60}\,\mathrm{km}=\frac{4}{3}\,\mathrm{km}\approx1333,33\,\mathrm{m}$$zurückgelegt. Die Entfernung zum Ufer, wo ihr Mann gerade wieder ins Boot steigt, beträgt daher \(\frac{2}{3}\,\mathrm{km}\). Jetzt rudert der Mann auf seine Frau zu, relativ zueinander bewegen sich beide also mit \(8\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\). Bis sich beide wieder treffen vergehen also:$$t_5=\frac{\frac{2}{3}\,\mathrm{km}}{8\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}}=\frac{\frac{2}{3}\,\mathrm{km}}{8\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm {min}}}=\frac{\frac{2}{3}\,\mathrm{km}}{8\,\mathrm{km}}\cdot60\,\mathrm {min}=5\,\mathrm {min}$$Wie oben schon berechnet, legt der Mann in \(5\,\mathrm{min}\) genau \(500\,\mathrm m\) zurück. Daher befinden sich beide nun \(s_5=1,5\,\mathrm{km}\) vom Start-Ufer entfernt.

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